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| La sezione (M-1) vi ha dato i principi
dell'algebra semplice. Questi esercizi vi daranno la
pratica nella loro applicazione.
Non aspettatevi nulla di profondo o interessante--questa è solo una esercitazione, come gli esercizi che fate per le dita se volete padroneggiare uno strumento musicale, o la pratica del parcheggio parallelo prima dell'esame di guida. Fateli tutti--non tralasciatene nessuno!
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| (1) Isolate x in ogni equazione e trovate il
suo valore, seguendo la regola che "quando le stesse operazioni vengono eseguite su entrambi i membri di un'equazione, il risultato è ancora lo stesso".
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| A destra di ogni problema vi sono delle istruzioni
per risolverlo, un elenco delle operazioni richieste. La
sequenza in cui vengono eseguite si legge da sinistra a
destra. Scrivete una nuova equazione per ogni
passaggio.
La notazione delle istruzioni è la seguente. Per operazioni eseguite ad entrambi i membri:
(–6) sottraete 6 (*3) moltiplicate per 3 (/5) dividete per 5 Per le altre operazioni: (+/–) aggiungete o sottraete termini dove potete (*) moltiplicate termini dove potete
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| 5+x = 7 | (–5) |
| x/2 = 3 | (*2) |
| x/3 + 4 = 8 | (–4)(*3) |
| 4x – 5 = 15 | (+5)(/4) |
| 3x + 6 = 5x | (–3x)(/2) |
| 6x + 4 = 1.5x + 13 | (–1.5x)( –4)(/4.5) |
| 15x – 2 = 6x + 16 | (–6x)(+2)(/9) |
| 21x – 3 = (7x+9)/2 | (*2)(–7x)(/5)(/3) |
| Da notare che la moltiplicazione per (-1) inverte tutti
i segni ad entrambi i membri!
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| 10 – 3x = –2 | (–10)(*( –1))(/3) |
| 1/(x+1) = 2/(x+3) | (*(x+1))(*(x+3)(*)( –x)( –2) |
| (x+2)(x+1) = (x+7)(x–1) | (*)(+/–)( –x2)( –2)( –6x)(*( –1)(/3)
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| 7 + 2x = 13 15 + 7x = 1 4x – 3 = 2x 5x – 3 = 1 – 2x (x/2)+5 = (x/3)+6 2/(3–x) + 1/(2+x) = 0
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| (15x–5)/(3x–1) = 5 4(3x–5) = 2(6x+7) 5(x–3) = 7x – 15
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x + y = 7 Risposta: y = 7 – x
Tutte le
operazioni sono indicate come prima, ma attenzione:
i problemi includono un esempio mal posto.
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| 2x + 3y = 7 | (–2x)(/3) |
| (3y+1)/(x+2) = –2 | (*(x+2))( –1)(/3) |
| (4x – 5y –2) = 13 | (+2)( –4x)(* –1)(/5) |
| (3y + x + 6)/(y–x+2) = 2 | (*(y–x+2)) ( –2y)( –x)( –6) |
| (y–4x)/(y+x+6) = 1 | (*(y+x+6))( –y)( –x)(*( –1))(/5) |
| (15x–2y+6) = (y–6) | (–y)( –15x)( –6)(*(–1))(/3) |
(5)
Qui di seguito ci sono coppie di equazioni che contengono due
incognite, x e y.
Risolvete ciascun insieme di equazioni due volte.
Una volta risolvetelo
(b) sostituendo l'espressione così ottenuta per y nell'altra equazione, poi (c) ricavando x, e infine (d) mettendo tale valore nell'espressione sostituita e ottenendo y.
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| (a) | x+3y = 5 | 2x – y = 3 |
| (b) | x+y = –1 | 3x+4y = 2 |
| (c) | x+34 = 15 | 3x+y = 5 |
(6) Date due equazioni, indicate qui I e II, è possibile anche
| moltiplicare o dividere ogni equazione per
qualsiasi numero. Si può inoltre aggiungere
una equazione all'altra, o sottrarla: siccome le
quantità che si aggiungono o tolgono ad entrambi i
membri sono uguali, ciò che resta è anch'essa
una uguaglianza valida.
Ecco alcuni esempi--il primo viene sviluppato, per i restanti sono forniti solo i passaggi. In questa notazione, II indica sempre la seconda equazione di questa fase del calcolo--non deve essere per forza la 2a equazione originale ma potrebbe essere quella (diciamo) moltiplicata per 6. Se le istruzioni richiamano soltanto un'operazione, questa va eseguita sull'equazione ottenuta nel passaggio precedente.
5x – 12y = 2 (I) (II*6) |
| –10 – 12y = 2 –12y = 12 12y = –12 y = –1 |
| Per verificare il risultato, controllare se anche (II)
è valida
(–3)( –2) + 2(–1) = 4? (4 = 4, risultato OK) Di seguito, vengono indicati solo i passaggi per ottenere una variabile. Da soli, ricavate anche l'altra variabile e verificate il risultato.
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| (a) | 3x+4y = 19 (I) | 5x + 2y = 13 (II) | (II*2)(II – I)(/7) |
| (b) | 2x+3y = 5 (I) | 3x+2y = 0 (II) | (I*3)(II*2)(I–II)(/5) |
| (c) | 4x+3y = 16 (I) | 3x+5y = 12 (II) | (I*3)(II*4)(II–1)(/11) |
| (d) | 2x+6y = 34 (I) | 5x+2y = 46 (II) | (II*3)(II–1)(/13) |
| (e) | 3x+5y = 31 (I) | 2x–3y = 11 (II) | (I*2)(II*3)(I–II)(/19) |
(7) Ora risolvete da soli:
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| (a) | 2x–3y = 1 (I) | 3x+2y = 21 (II) |
| (b) | 5x–2y = 20 (I) | 10x + 3y = 5 (II) |
| (c) | 6x + 2y = 8 (I) | 5x + 4y = 16 (II) |
| (d) | 3x – 4y = 1 (I) | 2x + 3y = –5 (II)
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(8) Le due scale più
largamente utilizzate per la misura della temperatura sono
quelle introdotte da Farenheit (utilizzata negli
Stati Uniti) e da Celsius (la scala centigrada,
utilizzata nel resto del mondo e dagli scienziati).
Si trovino x e y, dato che 100 gradi centigradi (punto di ebollizione dell'acqua) corrispondono a 212 gradi Farenheit, e 0 gradi centigradi (punto di congelamento dell'acqua) corrisponde a 32 gradi Farenheit. (b) Utilizzando la soluzione di (a)--a quale temperatura C = F?
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Prossimo argomento: #M–2 Al-Khorezmi e gli Albori dell'Algebra
Autore e Curatore: Dr. David
P. Stern
Ci si può rivolgere al Dr. Stern per posta elettronica (in
inglese, per favore!):
stargaze("chiocciola")phy6.org
Traduzione in lingua italiana di Pietro Sauro
Aggiornato al 25 Novembre 2001