|
|
|
|
|
|
|
Elevazione di un numero ad una potenza che è un numero intero positivoIl concetto di logaritmi è scaturito da quello delle potenze dei numeri. Se le proprietà delle potenze vi sono familiari, potrete scorrere rapidamente il materiale qui sotto. Altrimenti – beh, ecco i dettagli. Le potenze di un numero si ottengono moltiplicandolo per se stesso. Per esempio
e così via... Il numero all'apice è noto come "esponente." I nomi specifici per "al quadrato" e "al cubo" derivano dal fatto che un quadrato di lato 2 ha un'area di 22 e un cubo di lato 2 ha un volume di 23. Analogamente, un quadrato di lato 16,3 ha un'area di (16,3)2 e un cubo di lato 9,25 ha un volume di (9,25)3. Si noti l'uso delle parentesi – non sono assolutamente necessarie, ma aiutano a chiarire cosa è elevato alla seconda o alla 3a potenza. Rapido Quiz:
Moltiplicazione di potenzeSi noti chedal momento che il primo termine contribuisce con tre fattori di 2 e il secondo termine contribuisce con due – insieme, 5 moltiplicazioni per 2. Lo stesso vale se "2" viene sostituito da un qualsiasi altro numero. Così, se tale numero viene rappresentato con "x" si ha (x3).(x2) = x5 e in generale (siccome non c'è niente di speciale riguardo 2 e 3 che non valga per altri numeri interi) dove a e b sono un qualsiasi numero intero. Le potenze di numeri interi più largamente utilizzate, per coloro che usano il sistema decimale, sono naturalmente quelle di 10 101 = 10 ("dieci") 102 = 100 ("cento") 103 = 1000 ("mille") 104 = 10.000 ("diecimila") 105 = 100.000 ("centomila") 106 = 1.000.000 ("un milione") Si noti che qui l' "indice della potenza" dà anche il numero degli zeri. Per numeri più grandi, c'era un tempo in cui negli Stati Uniti 109 = 1.000.000.000 era detto "un bilione" mentre in Europa era detto un "miliardo" e si doveva arrivare a 1012 per avere il "bilione". Oggi la convenzione americana sta guadagnando terreno, ma il mondo resta diviso perché per certe nazioni la virgola denota ciò che negli Stati Uniti chiamiamo "il punto decimale", mentre il punto divide numeri grandi, ad es. 109 = 1.000.000.000 (negli USA verrebbero usate la virgole). È degno di nota anche che alcune culture hanno assegnato dei nomi ad alcune altre potenze di 10 – ad esempio i Greci usavano "miriade" per 10.000, mentre la Bibbia ebraica usava il nome "r'vavah", e in India "Lakh" significa ancora 100.000 . Nel 1920 un bambino di 9 anni coniò il nome "Googol" per 10100, ma la parola è stata poco utilizzata oltre ad ispirare il nome di un motore di ricerca sul world-wide web. Divisione di una potenza per un'altraIn un modo molto simile a quello sopra, possiamo scrivere(25) / (22) = 23 poiché dividere una potenza di 2 per una potenza più piccola significa cancellare dal numeratore un numero di fattori uguali a quelli del denominatore. Scrivendola in dettaglio Anche qui il numero elevato alla potenza più alta non deve per forza essere 2 – indichiamolo di nuovo con x – e le potenze non devono necessariamente essere 5 e 2, ma possono essere due numeri interi qualsiasi, diciamo a e b: Qui tuttavia si aggiunge un nuovo tocco, perché la sottrazione può anche dare zero, o anche numeri negativi. Prima di esplorare tale direzione, è utile delineare un percorso generale da seguire. Ampliamento del significato di "Numero"Andando indietro alle oscure origini dell'umanità, i "numeri" significavano semplicemente numeri interi positivi ("numeri interi"): una mela, due mele, tre mele ...Si scoprì che anche semplici frazioni erano utili: 1/2, 1/3 e così via. Poi fu aggiunto lo zero, originario dell'India. Quindi ebbero pieno riconoscimento i numeri negativi – piuttosto che vedere la sottrazione come un'operazione separata, essa fu re-interpretata come addizione di un numero negativo. Analogamente, ad ogni intero x corrispondeva un numero "inverso" (1/x) (molte calcolatrici hanno anche un tasto 1/x). Nell'antico Egitto, 5000 anni fa, queste erano le sole frazioni conosciute, e quindi a volte sono ancora chiamate "frazioni egiziane." Quando un egiziano di quel tempo voleva esprimere 3/4, lo rappresentava come (1/2 + 1/4). A volte erano necessarie delle lunghe espressioni, ad esempio ma ha sempre funzionato. Gli antichi Greci andarono oltre e definirono "numero razionale" (o numero "logico" – "razionale" viene dal latino) qualsiasi multiplo di un tale inverso, per esempio 4/13, 22/7 o 355/113. I numeri razionali sono densi: non importa quanto due di loro siano vicini l'un l'altro, si potrebbe sempre mettere un altro numero razionale tra loro – per esempio, la metà della loro somma è una scelta tra le tante. Le frazioni decimali che si fermano ad una certa lunghezza sono anch'esse numeri razionali, sebbene le frazioni decimali che hanno lunghezza infinita ma con uno schema che si ripete (0,33333..., 0,575757... etc.) possono essere sempre espresse come frazioni razionali. I filosofi greci agli albori della matematica furono perciò sorpresi di scoprire che nonostante quella densità, alcuni numeri aggiuntivi potevano ancora "nascondersi" tra quelli razionali, e non potevano essere rappresentati da nessun numero razionale. Per esempio, √2 appartiene a questa categoria, il numero il cui quadrato uguaglia 2. La maggior parte delle radici quadrate e le soluzioni di equazioni sono anch'esse di questo tipo, come lo è π, il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro (denotato dalla lettera greca "pi"). Una buona approssimazione di Pi è data da 22/7 ed una molto migliore da 355/113, ma il suo esatto valore non può mai essere rappresentato da alcuna frazione. I matematici considerano tutti i precedenti tipi di numeri come un'unica categoria di "numeri reali". I logaritmi di numeri positivi sono anch'essi numeri reali. Quando scriviamo (i punti rappresentano una continuazione irregolare) si vede come 10 sia elevato ad una potenza che è un certo numero reale. In precedenza, le potenze erano numeri interi che indicavano il numero di volte che un certo numero era moltiplicato per se stesso. Per rendere l'espressione precedente significativa, è quindi necessario generalizzare il concetto di elevazione di un numero ad una potenza a quello in cui ogni numero reale può essere l'indice della potenza. Logaritmi delle potenze di 10Questi sono tutti numeri interi:
(xa).(xb) = x(a+b) Così se x=10 U = (10a) V = (10b) W = (10(a+b)) = U.V allora siccome a = log U b = logV (a+b) = log W abbiamo: logU + log V = log (U.V) Questa relazione vale ogni volta che U e V sono potenze di 10:
Con la più ampia definizione del concetto di logaritmi tale proprietà rimane sempre valida. Questo è ciò che in origine ha reso utili i logaritmi: convertire una moltiplicazione in un'addizione. Invece di dover moltiplicare U e V, dobbiamo solo sommare i loro logaritmi e poi cercare il numero il cui logaritmo è uguale a quella somma: quello sarà il prodotto (U.V). Analogamente, (xa) / (xb) = x(a–b) così se x=10, U = (10a) V = (10b) W = (10(a–b)) = U/V quindi nella divisione abbiamo: o "il logaritmo del quoziente è pari alla la differenza tra i logaritmi dei numeri divisi", ad esempio 107 / 104 = 103 che concorda con 7 – 4 = 3. La divisione, però, apre un nuovo scenario: dalla stessa regola, per esempio 1040 / 1043 = 10–3 = 0,001 E 104 / 104 = 100 = 1 dal momento che un numero viene diviso per se stesso, la divisione deve dare 1. In effetti, questo è coerente con la regola che aggiungendo o sottraendo 1 al logaritmo si sposta la sua prima cifra decimale a destra o a sinistra. Precedentemente
e ora questa lista può essere estesa, dividendo per 10 ad ogni passo
Quanto sopra dimostra un'altra proprietà dei logaritmi: log (VQ) = Q log V . Nel caso particolare di V = 10, logV = 1 Notazione ScientificaLe quantità con cui lavorano gli scienziati sono a volte molto piccole o molto grandi. È quindi conveniente (per il calcolo, e anche per l'applicazione dei logaritmi) separare il numero in due parti – un numero da 1 a 10, che ne fornisce la struttura, e una potenza di 10, che ne dà la grandezza.La carica elettrica, per esempio, si misura in coulomb: un coulomb fluisce all'incirca ogni secondo attraverso una lampadina da 100 watt. Tale corrente è trasportata da un gran numero di piccole particelle negative, presenti in ogni atomo e note come elettroni. Ogni elettrone ha una carica di Se questa dovesse essere scritta come una frazione decimale, l'espressione richiederebbe circa la metà di un rigo, con 18 zeri dopo la virgola prima delle cifre significative – e ad una rapida occhiata non darebbe molte informazioni, sarebbe ancora necessario contare gli zeri. La massa dell'elettrone è ugualmente piccola La notazione scientifica semplifica la scrittura di tali numeri. Un altro esempio ancora è la velocità della luce Inoltre la notazione scientifica rende la moltiplicazione e la divisione più semplici e meno soggette ad errori. Si moltiplicano o si dividono separatamente i fattori numerici, ciascuno compreso tra 1 e 10, e di solito si vede a colpo d'occhio se il risultato è del giusto ordine di grandezza. Separatamente, si sommano tutti gli esponenti delle potenze dei fattori moltiplicati, e si sottraggono quelli delle potenze divise, per ottenere l'opportuna potenza di 10, che quindi appare in notazione scientifica. Naturalmente, in ogni calcolo, è necessario utilizzare unità coerenti – non si dovrebbero mischiare metri e pollici, o libbre e grammi (un uso incoerente di questo tipo, a quanto pare, ha comportato un errore per il quale una sonda spaziale diretta su Marte ha mancato il pianeta ed è andata dispersa). Il più comune sistema coerente nel campo della fisica e della tecnologia è il sistema MKS, che misura la distanza in metri, la massa in chilogrammi (kilograms in inglese) e il tempo in secondi. Tutte le altre unità sono determinate dalla scelta di questi tre riferimenti, e finché si rimane nel sistema MKS, anche i risultati concordano con le unità di tale sistema (ad esempio se viene calcolata l'energia, essa compare sempre in joule). Un esempioGli elettroni dell'aurora polare ("aurora boreale") si muovono a circa 1/5 della velocità della luce, in un campo magnetico B, che in prossimità del suolo è di circa 5 10–5 Tesla (il Tesla è l'unità MKS del campo magnetico: al polo di un magnete di ferro si ha circa 1 Tesla). Il campo magnetico porta un elettrone a girare a spirale intorno alla direzione della forza magnetica ("linea di campo magnetico") con un raggio didove v è la parte della velocità perpendicolare alla direzione di B. Se v – la componente perpendicolare a B – è la metà della velocità totale degli elettroni, quanto vale r? Abbiamo
v = 2,99791 107 m/sec (= 0,1 c) q = 1,60219 10–19 coulomb B = 5 10–5 Tesla |
Autore e Curatore: Dr. David P. Stern
Ci si può rivolgere al Dr. Stern per posta elettronica (in inglese, per favore!):
stargaze("chiocciola")phy6.org
Traduzione in lingua italiana di Pietro Sauro
Aggiornato al 9 Novembre 2007