(5c)   Coordenadas  

"De Astrónomos a Astronaves": página de inicio e índice:
       en disco: Mintro.htm,
       en la red: http://www.phy6.org/stargaze/Mintro.htm

• Aprenderá a utilizar las coordenadas cartesianas (x,y) para definir la posición de un punto en dos dimensiones.

• Aprenderá a utilizar las coordenadas cartesianas (x,y,z) en un espacio tridimiensional. [Opcional: aprenderá a apreciar que existen dos maneras de definir el eje z, y cuál de ellos se utiliza].

• Se familiarizará con algunas de las herramientas y términos utilizados por los topógrafos: teodolito, acimut, elevación, cenit, [nadir].

Los temas opcionales de abajo son para estudiantes familiarizados con la trigonometría y con el teorema de pitágoras (área de las matemáticas tambien cubiertas mediante archivos de la red ligados a: httm://www.phy6.org/stargaze/Smath.htm

• Coordenadas Polares (r, φ) en el plano (dos dimensiones)
• Convirtiendo (r, φ) a (x,y) y viceversa, por lo menos para r.
• Coordenadas polares "esféricas" en un espacio tridimensional. Podríamos usar (r,λ,φ) con λ la latitud (al igual que como se utilizan para ubicar lugares en la Tierra, yendo de –90° a +90°), pero los matemáticos prefieren (r,θ,φ), en donde θ=90°–λ es la "colatitud", la cual va desde 0 hasta 180°.

Términos: Coordenadas cartesianas, ejes, origen (de coordenadas) [coordenadas polares] Teodolito, acimut, elevación, cenit, [nadir].

Historias y extras: René Descartes.

    Los antiguos griegos eran bastante hábiles en las matemáticas--aún y cuando la forma en la que escribían los números era muy torpe, un poco parecido a los números romanos. También tenían una muy sofisticada geometría --el estudio de las líneas, ángulos, triángulos, círculos o demás, y las leyes por las cuales se gobernaban.

   Pero, interesantemente, estas dos áreas estaban completamente separadas. El teorema de pitágoras, por ejemplo, fue comprobado mediante un método que no utilizaba números, sino triángulos, rectángulos y cuadrados. Aún en la actualidad los estudiantes en las escuelas a veces aprenden ese método, debido a que es muy inteligente--pero también es complicado y difícil.

   Esta separación continuó durante unos 15 siglos, y entonces, a principios del siglo 16, un filósofo Francés, René Descartes, repentinamente los unió. Introdujo un sencillo pero inteligente esquema para darle nombre a cada punto en un plano mediante números. Le llamamos a estos números las "coordenadas cartesianas" de un punto--"cartesianas" de "Descartes".

   Como veremos--una parte hoy, otra parte en una clase posterior-- esto no solo permitió a que los puntos fueran nombrados por los números, sino también permitió utilizar a los números para describir líneas rectas en varias direcciones, así como círculos, elipses y aún curvas y formas las cuales la geometría Griega nunca imagnó.

Comience cubriendo la sección 5c de "Astrónomos" hasta llegar a las coordenadas polares (que se manejará posteriormente por separado), utilizando las preguntas de abajo en la lección, en el repaso posterior o en ambos:

Son métodos para identificar puntos en el espacio mediante un juego de números llamados sus "coordenadas".

Son coordenadas en un sistema diseñado para utilizarse sobre la superficie de una esfera. La declinación y la ascención recta se utilizan como coordenadas celestiales.

Las distancias del punto a dos ejes rectos: el "eje x" normalmente dibujado de manera horizontal, y el "eje y" perpendicular al eje x.

&#nbsp; &#nbsp; Fueron introducidas por el matemático Francés--y también filósofo y soldado--René Descartes, 1596-1650.

&#nbsp; &#nbsp; Diga a la clase que Descartes también intentó resolver la pregunta "¿Cómo sé que existo?" mediante la declaración "Pienso, luego existo,", o en Latín, el cual es usado por los eruditos actualmente, "Cogito, ergo sum."

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-- ¿Cuál es el "origen de las coordenadas?"

Ese es el punto en donde el eje x y el eje y se unen, con frecuencia denotado por la letra O.

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-- ¿Cuáles son las coordenadas x e y de un punto en una superficie plana?

Son dos números, (x,y), los cuales dan su posición.

X es la distancia medida paralela al eje x. Se mide desde el eje y--a la derecha es positivo y a la izquierda es negativo.

Y es la distancia medida paralela al eje y. Es medida desde el eje x, siendo hacia arriba positiva y hacia abajo negativa.

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-- ¿Cuáles son las coordenadas del origen O?

Son (0, 0), esto es (zero, zero)

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-- ¿Cómo se utilizan las coordenadas cartesianas para definir un punto en un espacio tridimensional?

  Tres coordenadas definen el punto--x, y y z--definidos por 3 ejes perpendiculares. Las coordenadas x e y se definen como antes, en algún plano, y z se mide desde el origen en dirección perpendicular al plano (x,y).
  Dado un punto P, siempre podremos construir una figura en forma de caja con lados perpendiculares, de manera que una esquina está en P y la esquina opuesta está en el origen O.
  Las coordenadas (x,y,z) son, entonces, la longitud de los lados de la caja paralelos a los ejes (x,y,z), con signo + o -, dependiendo de qué lado de los ejes estén.

En caso de que surga la pregunta: cuando z se mide desde el plano (x,y) en una dirección perpendicular, existen dos direcciones, una para cada lado. ¿Existe alguna diferecia a causa de qué dirección escogamos?

Respuesta: Sí, si hace una diferencia. Es costumbre escoger los ejes (x,y,z) en dirección de (dedos pulgar, índice, medio) de la mano derecha. La otra opción correspondería a (dedos pulgar, índice, medio) de la mano izquierda].

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-- Una pregunta adicional: El espacio solo tiene 3 dimensiones. Pero, podría adivinar que podemos explorar matemáticamente cómo sería un espacio de cuatro dimensiones (y aún un espacio de 5 dimensiones) al imaginarnos que cada punto fue definido por cuatro números (x,y,z,u) o aún 5 números (x,y,z,u,v)?

Sí. Ha sido realizado.

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(Opcional, para una clase que ya ha cubierto el teorema de Pitágoras).

--¿Qué dice el teorema de Pitágoras?


En un triángulo que tiene lados de una longitud (a,b,c), si los lados a y b forman un "ángulo recto (90°), entonces
a² + b² = c²

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(El maestro explica, dibujando en el pizarrón:) Si se nos dan las coordenadas de dos puntos en el plano, el teorema de Pitágoras nos permite calcular la distancia entre ellos.

Suponga que los puntos y sus valores (x,y) son:

A=(1,4)
B=(5,1)

Escoga un tercer punto C el cual toma su valor x desde un punto y el valor y desde el otro. Digamos
C=(1,1)
Veremos que el triángulo (ABC) es uno con ángulo recto.

En un lado, desde A=(1,4) hasta C=(1,1), x tiene un valor constante, digamos que x=1. Ese lado es por lo tanto paralelo al eje x . La diferencia de y es igual a 3 (ignore el signo, ya que solo necesitamos la longitud, la cual siempre es positiva), de manera que si llamamos a este lado "a", su longitud es 3.

Por otro lado, desde B=(5,1) a C = (1,1) y tiene el mismo valor de 1, de manera que es paralelo al eje y, y por lo tanto forma un ángulo de 90° con el lado que se llama "a". Sus valores de s difieren por 4, de manera que si nombramos este lado "b", tiene una longitud de 4.

El tercer lado del triángulo ABC es la distancia desde A hasta B. Nombrando esa línea "c" tenemos, de acuerdo al teorema de Pitágoras

c² = a² + b² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

La raíz cuadrada de 25 es 5, de manera que la distancia AB es igual a 5.

(El punto C toma x desde un punto y toma y desde el otro. Podíamos haber escogido C=(5,4). Obtenemos el mismo resultado?)

(Fin de la sección opcional)

Aquí la clase comineza a ver el material de las coordenadas polares, utilizando las preguntas de abaja:

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-- ¿Pueden los sistemas de coordenadas, aparte del sistema cartesiano, ser utilizado para poner puntos en un plano?

Sí, otros sistemas pueden ser utilizados.

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--Describa uno de dichos sistemas, las coordenadas polares.

Las coordenadas polares también tienen un "origen" O como punto de referencia, pero en lugar de (x,y), las coordenadas también tienen un "origen" O como punto de referencia, pero en lugar de (x,y), utilizan la distancia r desde O hasta el punto dado P, y el ángulo φ ("fi"--letra Griega f) entre la línea OP ("radio"--por lo tanto "r") y alguna línea de referencia.

Para los estudiantes familiarizados con la trigonometría

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-- Si un sistema cartesiano (x,y) tiene el mismo origen que un sistema polar, y la linea de referencia del sistema polar es el eje x--dado (r,φ) de un punto, cuales son sus (x,y)?

Respuesta         x = r cos φ         y = r sen φ f

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-- Dados (x,y), ¿cómo puede obtener r? ¿Qué función de φ puede utilizar?

Respuesta

• Para r, tome la raíz cuadrada de r² = x² + y²

• Para φ         tanφ = y/x

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--¿Puede marcar un punto P en un espacio tridimensional mediante coordenadas polares?
        Sí.
¿Cuántos números se necesitan para describir cada punto?
        Se necesitan tres números.
¿Qué son esos números?

Uno es la distancia desde el origen, OP= r. Para los otros dos puntos, ponga una esfera de radio r alrededor del orige, de manera que P esté en algún lugar sobre la esfera. Entonces ponga sobre la esfera un sistema de latitud λ y de longitud φ, y las tres coordenadas son entonces (r,λ,φ) y eso da el punto exacto.

   Por supuesto, existen muchas opciones, por ejemplo, ¿Donde colocar el eje? ¿Y donde deberá estar el punto de referencia sobre el "ecuador" desde el cual la longitud se mide?

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-- ¿Cómo utilizan los topógrfos este sistema?

Ellos tienen un telescopio sobre una tornamesa horizontal,la cual pueden rotar también hacia arriba y hacia abajo. Cuando ven algún punto distante P, el ángulo hacia arriba-abajo corresponde a λ, que es la elevación del punto P. La dirección en la tornamesa, un ángulo φ, medido en sentido contrario al reloj a partir del norte, es su acimut. Dados estos dos puntos al ser medidos desde los dos puntos (A,B) separados por una distancia conocida, los topógrafos pueden calcular todo acerca del triángulo (ABP), razón por la cual el método se llama triangulación. En particular, pueden calcular las distancias (AP) y (BP) des cualquier punto hasta P. Esta técnica es útil para elaborar mapas.

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Posteriormente agregue: en realidad, cuando los matemáticos definen tales "coordenadas esféricas", prefieren medir la "latitud" desde el polo, y no desde el ecuador, como la declinación en el cielo. Algunas veces es referida como "co-latitud" y marcada con una letra θ, la letra Griega "teta" pronunciada como T.