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(M–1a) Ejercicios de Álgebra

La sección (M–1) le proporciona los principios del álgebra simple. Estos ejercicios le proporcionarán la práctica para su aplicación. 

No espere nada profundo o interesante, son solo ejercicios, parecidos a los ejercicios digitales que necesita para dominar algún instrumento musical o las prácticas de aparcamiento previas al examen de conducir. Hágalos todos, ¡no deje ninguno!
(1) Aísle x en cada ecuación y halle su valor, siguiendo la regla de que "cuando se ejecutan operaciones iguales en ambos lados de una ecuación, el resultado permanece igual." 
A la derecha de cada problema hay instrucciones para resolverlo, una lista de las operaciones requeridas. La secuencia en la que se aplican se lee de izquierda a derecha. Escriba una nueva ecuación para cada paso. 

La notación de las instrucciones es como sigue. Para las operaciones aplicadas a ambos lados: 

      (+2)     sume 2 
      (–6)     reste 6 
      (*3)     multiplique por 3 
      (/5)     divida por 5 
      Para otras operaciones: 
      (+/–)     sume o reste los términos donde pueda
      (*)     multiplique los términos donde pueda
Nota: Cada ecuación no tiene una única solución. Algunas pueden ser identidades, p.e. 2(x+1) = 2x + 2, que sirven para cualquier valor de x. Otras pueden ser desigualdades, p.e. 2(x+1) = 2x + 3, que no sirve para cualquier valor de x, debido se restringe por el requisito imposible de 2 = 3. 
5+x = 7  (–5) 
x/2 = 3  (*2) 
x/3 + 4 = 8  (–4)(*3) 
4x – 5 = 15  (+5)(/4) 
3x + 6 = 5x  (–3x)(/2) 
6x + 4 = 1.5x + 13  (–1.5x)(–4)(/4.5) 
15x – 2 = 6x + 16  (–6x)(+2)(/9) 
21x – 3 = (7x+9)/2  (*2)(–7x)(/5)(/3)
Observe que la multiplicación por (–1) invierte todos los signos de ambos lados! 
10 – 3x = –2  (–10)(*(–1))(/3) 
1/(x+1) = 2/(x+3)  (*(x+1))(*(x+3)(*)(–x)(–2) 
(x+2)(x+1) = (x+7)(x–1)  (*)(+/–)(–x2)(–2)(–6x)(*(–1)(/3) 
              (2) Mismos tipos de ecuaciones, pero ahora sin instrucciones:
7 + 2x = 13
15 + 7x = 1
4x – 3 = 2x
5x – 3 = 1 – 2x

 (x/2)+5 = (x/3)+6
5x – 20 = x+8
(x+6)/2 = 2x – 21
(2x–3)/(4x–3) = 1

 2/(3–x) + 1/(2+x) = 0
(x+10)/(3x+5) = 2
(11x+1)/(6x–2) = 2
(x+2)(x+3) = (x+1)(x+7) 
              (3) ¿Está algo mal en estas ecuaciones? Y si es así, ¿qué?
(15x–5)/(3x–1) = 5
4(3x–5) = 2(6x+7) 
5(x–3) = 7x – 15
              (4) Todas las relaciones siguientes contienen x e y :
                      Exprese y en términos de x, por ejemplo

                                x + y = 7                 Respuesta: y = 7 – x

                Todas las operaciones se indican como antes, pero tenga cuidado:
                      los problemas incluyen un ejemplo muy difícil.

2x + 3y = 7  (–2x)(/3) 
(3y+1)/(x+2) = –2  (*(x+3)(*)(–1)(/3) 
(4x – 5y –2) = 13  (+2)(–4x)(*–1)(/5) 
(3y + x + 6)(y–x+2) = 2  (*(y–x+2))(*)(–2y)(–x)(––6) 
(y–4x)/(y+x+6) = 1  (*(y+x+6))(–y)(–x)(*(–1))(/5) 
(15x–2y+6) = (y–6)  (–y)(–15x)(–6)(*(–1))(/3)

              (5) Debajo están pares de ecuaciones que implican a dos números desconocidos, x e y.

Resuelva cada conjunto de ecuaciones dos veces. Resuelva una vez
     (a) expresando y de una ecuación en términos de x, luego
    (b) substituyendo la expresión para y en la otra ecuación, luego
    (c) derivando x, y finalmente 
    (d) poniendo ese valor en la expresión sustituida y obteniendo y.
Luego resuélvala de nuevo intercambiando los papeles, exprese x en una ecuación, substituya esa expresión en lugar de x en la otra, deduzca y, luego deduzca también x.
(a)  x+3y = 5  2x – y = 3
(b)  x+y = –1  3x+4y = 2
(c)  x+34 = 15  3x+y = 5

              (6) Dadas dos ecuaciones, señaladas aquí I y II, puede también

multiplicar o dividir cada ecuación por cualquier número. Puede además sumar una ecuación a la otra o restarlas: debido a que las cantidades que suma o resta a ambos lados son iguales, lo que resulta es también una igualdad válida. 

He aquí algunos ejemplos, el primero está calculado, para el resto se dan solo los pasos. En esta notación, II siempre significa la 2ª ecuación en esta etapa del cálculo, no necesita ser la original sino que puede haber sido (digamos) multiplicada por 6. Si las instrucciones solo denominan una operación, es para ser aplicada a la ecuación obtenida en el paso anterior. 

                5x – 12y = 2 (I) 
                –3x + 2y = 4 (II) 

(II*6) 
                –18x + 12y = 24
(I+II) 
                5x – 18x = 26                 (12y, –12y se anulan) 
(+) 
                –13x = 26
(*(–1)) 
                13x = –26
(/13) 
                x = –2
Para hallar y, ponga este valor en la (I)
–10 – 12y = 2 
–12y = 12 
12y = –12 
y = –1 
Par comprobar su resultado, vea si la (II) también lo asevera

 (–3)(–2) + 2(–1) = 4? (4 = 4, resultado OK) 

En lo que sigue, solo se proporcionan las etapas necesarias para obtener una variable. Deduzca usted mismo también la otra variable y compruebe el resultado. 
(a)  3x+4y = 19         (I)  5x + 2y = 13         (II)  (II*2)(II – I)(/7)
(b)  2x+3y = 5         (I)  3x+2y = 0         (II)  (I*3)(II*2)(I–II)(/5) 
(c)  4x+3y = 16         (I)  3x+5y = 12         (II)  (I*3)(II*4)(II–1)(/11) 
(d)  2x+6y = 34         (I)  5x+2y = 46         (II)  (II*3)(II–1)(/13)
(e)  3x+5y = 31         (I)  2x–3y = 11         (II)  (I*2)(II*3)(I–II)(/19)

              (7) Resuelva ahora usted solo:

(a)  2x–3y = 1 (I)  3x+2y = 21 (II) 
(b)  5x–2y = 20 (I)  10x + 3y = 5 (II) 
(c)  6x + 2y = 8 (I)  5x + 4y = 16 (II) 
(d)  3x – 4y = 1 (I)  2x + 3y = –5 (II) 

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Próxima etapa:   #M–2    Al–Khorezmi y el Amanecer del Álgebra

Author and Curator:   Dr. David P. Stern
     Messages to Dr.Stern:   stargaze("at" symbol)phy6.org   (English, please) .

Spanish translation by J. Méndez

Last updated 13 December 2001