(M-3) Formules

    Les formules sont très semblables aux équations.

    Nous ne considérons pour maintenant que seulement les équations à une variable inconnue, désignée par une lettre, qui peut être x mais aussi une autre.

    Une équation est l'égalité de deux expressions mathématiques contenant un nombre inconnu (quelquefois en plusieurs places), aussi bien que d'autres nombres qui, eux, sont connus. Pour "résoudre une équation" il faut trouver pour quelle valeur du nombre inconnu l'égalité est vraie. Si (comme c' est souvent le cas) l'équation concerne une technologie ou un calcul scientifique, sa solution permet alors de prévoir une conception, expérience ou observation.

    Une formule, en revanche, est une égalité entre deux expressions mathématiques, qui impliquent deux nombres inconnus ou plus, et éventuellement d'autres nombres dont les valeurs sont indiquées.

    En elle–même une formule "n'a pas de solution." Elle n'est pas un puzzle conduisant à la solution recherchée mais l'expression d'une relation entre les nombres inconnus. Les quantités inconnues peuvent avoir de nombreuses valeurs différentes qui donnent toutes une solution vraie.

    Cependant, si toutes les valeurs sont données excepté un seul des nombres inconnus, ce qui reste devient une équation permettant le calcul.

    Tout ceci est plus clair avec des exemples :

            Exemples

Exemple (1)

    Ma feuille d'impôt sur le revenu dans l'état du Maryland indique que mes revenus de l'année étaient E dollars (après corrections pour exemptions, rectifications et autres ajustements d'impôts), et que j'ai à payer T dollars, étant donné que (la multiplication étant notée " * " )

    C' est une formule, elle ne demande aucune solution. Chaque valeur de E donne une valeur différente de T. Une fois E connu, elle devient un genre assez simple d'équation, et T est immédiatement trouvé.

    Utilisons à nouveau la notation algébrique, où les expressions l'une à côté de l'autre sont multipliées. Le symbole " * "n'est alors plus nécessaire, et la formule devient :

    Deux points à remarquer. D'abord, nous notons maintenant souvent des quantités inconnues non pas par x et y mais par les lettres qui indiquent ce qu'elles représentent. Comme "E" pour "Emoluments" et "T" pour Taxation."

    En second lieu toutes les modalités utilisables pour interchanger la forme des équations peuvent l' être avec les formules. Supposez que nous connaissons l'impôt T et souhaitons calculer les émoluments E.

    Dans ce cas , la même formule donne une équation différente. Avant, il était plus commode d'avoir seulement T du côté gauche. Maintenant, il est plus commode d'isoler E :

Soustrayons 90 des deux côtés :

    T – 90 = (E – 3000) 0.0475

Divisons les deux côtés par 0.0475:

    (T – 90) / 0.0475 = (E – 3000)

Additionnons 3000 aux deux côtés

    (T – 90) / 0.0475 + 3000 = E

Pour un aspect plus ordonné, intervertissons les côtés

    E = (T – 90)/0.0475 + 3000

    Maintenant vous obtenez une valeur de E pour n'importe quelle valeur de T.

Exemple (2)

    La température est habituellement mesurée en utilisant soit l'échelle présentée en 1714 par Farenheit ou celle proposée en 1742 par Celsius.

    Pour un objet dont la température est donnée en F degrés de l'échelle de Farenheit et C de l'échelle de Celsius, les deux valeurs sont reliées par la formule :

    Connaissant un des deux nombres, nous obtenons une équation pour l'autre. Si F est donné, la forme ci–dessus donne immédiatement C. Par contre si C est donné, cela permet d'isoler F. Multiplions les deux côtés par 9 :

Divisons les deux côtés par 5:

Additionnons 32 des deux côtés

Echangeons les termes pour un meilleur aspect :

Exemple (3)

    La distance s que parcourt en un temps t , en secondes, un objet au repos lâché en chute libre est donnée par :

    (en notation algébrique, avec les symboles voisins qui se multiplient).

    Ici g est la valeur de la force d'attraction de la pesanteur de la terre : si s est évaluée en mètres, g = 9.81, si elle l'est en pieds, g = 32.16 (9.81 mètres = 32.16 pieds. Cette valeur est connue mais manipuler la formule (comme ci–dessous) est plus simple en continuant à la représenter par une lettre jusqu'au moment où elle est réellement calculée.

    Ici le temps t n'est pas indiqué mais toutes les fois que vous en choisissez une valeur , la formule vous donne les distances appropriées.

    Supposons que nous cherchons le rapport inverse ––s étant donnée, que vaut t ? On considère maintenant t comme inconnu et il faut l'isoler. Multiplions les deux côtés par 2 :

    Pour passer de t² à t, on extrait la racine carrée, une tâche facile pour celui qui utilise une calculatrice munie d'une touche de racine carrée (il y a des méthodes plus lentes qui nécessitent un crayon et du papier). Les mathématiques ont leur signe pour elle, mais puisque le web ne le fournit pas, nous écrivons à sa place SQRT :

    Maintenant, quelque soit la distance s on peut la mettre dans l'équation et calculer le temps t, qui s'y rapporte, en secondes.

         Substitution de formulas

    Comme on l'a dit dans la première section – la présentation de trois règles de base de l'algèbre –– si les deux côtés d'une équation sont soumis au même traitement, les résultats sont encore égaux.

    Cela est vrai aussi pour les formules. Par exemple –– si vous multipliez deux côtés d'une formule par le même nombre, le résultat est toujours une formule valide,même si dans ce que vous multipliez il y a des nombres inconnus. Des égales données égalent des résultats égaux !

    L'exemple ci–dessous est fréquent. Dans un des problèmes de "Stargazers", on arrive à la formule :

    avec π=3.1415926... = un nombre fixe, celui des diamètres dans la circonférence d'un cercle, T est un intervalle de temps et R une distance. Supposons qu'à l'instant (1) leurs valeurs soient T1 et R1, et qu'à l'instant (2), elles soient T2 and R2. Nous avons maintenant deux formules :

    Aucune connexion entre les deux paires (T1, R1) and (T2, R2)? Hé si Nous pouvons diviser

* Le côté gauche de (1) par le côté gauche de (2),
* Le côté droit de (1) par le côté droit de (2)

    Après tout , cela revient à diviser les côtés de (1) par deux expressions égales et ainsi les résultats doivent aussi être encore égaux. Nous obtenons :

    Après avoir éliminer les termes identiques du numérateur et du dénominateur –– notamment V du côté gauche et 2π du côté droit – il reste :

    ce qui s'avère être utile pour le reste du calcul. C'est une règle générale: deux formules ou équations étant données, nous pouvons diviser chaque côté de l'une par les côtés de l'autre . "diviser des quantités égales par des quantités égales, donne des résultats qui demeurent égaux"".