(12) La seconde loi de Kepler

La Loi

L'ellipse suivie par une planète autour du soleil a une forme symétrique, mais son mouvement n'est pas uniforme.

Jetez une pierre vers le haut : lorsqu'elle s'élève, elle perd de la vitesse, puis en haut de sa trajectoire se déplace très lentement pendant un instant, et finalement redescend, augmentant de nouveau sa vitesse. Le mouvement d'une planète autour du soleil, ou celle d'un satellite artificiel autour de la terre, obéit à des lois différentes (mais apparentées), et ressemble en cela à la pierre, sous bien des aspects.

C'est plus évident si l'orbite est allongée, c.-à-d. si son excentricité est proche de 1. Successivement, la planète ou le satellite s'éloigne du foyer en ralentissant, puis s'en rapproche, et accélère à nouveau, atteignant une vitesse maximum à la distance la plus proche du foyer. Ce point de l'orbite s'appelle périhélie pour une planète ("helios" : soleil) et périgée pour un satellite de la terre ( "geo" : Terre ).

Surtout d'après ses observations de Mars, Kepler a proposé la règle suivante pour prévoir l'accélération et le ralentissement : " Si on mène une droite du centre du soleil à la planète (ou du centre de la terre au satellite).

"le rayon vecteur balaye des secteurs égaux en des périodes égales"

Illustration de la 2ème loi de Kepler:  Les segments AB et CD  sont parcourus en des périodes égales.

Exemple : le schéma représente l'orbite d'un satellite de la terre, AB et CD sont des parties de l'orbite parcourues en 3 heures , respectivement proches de l'apogée et du périgée. Si O est le centre de la terre, les secteurs colorés OAB et OCD sont égaux. Cela signifie que CD est beaucoup plus long que AB, parce que le satellite se déplace beaucoup plus rapidement près du périgée et couvre une distance beaucoup plus grande en 3 heures.

Energie

L'énergie peut être grossièrement définie comme tout ce qui peut faire fonctionner une machine. Les formes d'énergie qui actionnent nos machines sont habituellement l'électricité ou la chaleur ; la lumière en est une autre forme, qui convertie en électricité par les panneaux solaires actionne la plupart des satellites.

La pesanteur peut également être source d'énergie. Les rouages des horloges de première génération tournaient grâce à des poids, descendant graduellement de la base de l'horloge, et devaient être régulièrement remontés , sous peine d'arrêt de l'horloge. Thomas Jefferson, dans sa maison de Virginie proche de Charlottesville, possédait une horloge dont les poids (installés à côté de la salle) étaient des boulets de canon attachés à une corde. Pour donner un laps de temps de sept jours à l'horloge, un trou avait été découpé dans le plancher, leur permettant de descendre jusqu'au sous-sol.

Quand un poids, ou un boulet de canon, est relevé contre la force de la pesanteur, il acquiert de l'énergie potentielle , énergie résultant de la position, et proportionnelle à la hauteur à laquelle l'objet a été monté . Si le poids est lâché, il perd de la hauteur et donc de l'énergie potentielle, mais il gagne en énergie cinétique, celle qui est due à la vitesse du mouvement. L'énergie cinétique peut à son tour être reconvertie en énergie potentielle, comme c' est le cas pour les obstacles pour " rollers " qui passent au fond d'un creux puis entament une montée.

Un échange semblable se produit si une pierre est jetée vers le haut avec une certaine vitesse v . Si sa masse est m (la masse sera définie plus tard, mais c' est quelque chose qui est lié au poids), on peut démontrer que son énergie cinétique est

1/2 mv²

Pendant l'élévation, v et l'énergie cinétique diminuent, mais cela est assorti d'une croissance d'énergie potentielle :

h m g

avec h : hauteur en mètres et g : une constante mesurant la force de la pesanteur. Si m est exprimé en kilogrammes, h en mètres et v en mètres par - seconde (s'écrit : m/sec ; la vitesse d'un marcheur est de 1-2m /sec), g vaut environ 9.81.

De la somme des deux résulte l'énergie totale E qui reste constante:

E  =   1/2 mv² +  h m g = constante

Quand la pierre s'élève, la partie cinétique de son énergie diminue , puis est nulle au point le plus élevé, quand pendant un bref instant v = 0. En descendant, les modifications sont inverses. Nous reviendrons ultérieurement sur cette formule et sur le concept d'énergie.

Pour un satellite de masse m , tournant autour de la terre, (ou pour une planète autour du soleil) il y a une formule semblable :

E = 1/2 mv² – k m/r = constante

Ici k est une autre constante, en fait, dépendante de g, puisque toutes deux reflètent la force de la pesanteur de la terre (la valeur exacte est k = g R², où R est le rayon de la terre, en mètres). Ne vous laissez pas surprendre par le signe moins : si le satellite s'élève, r augmente, donc k m/r diminue, mais –k m/r augmente, il est moins négatif que près de la terre. Cette équation montre donc pourquoi la vitesse du satellite diminue pendant qu'il s'éloigne et augmente pendant qu'il se rapproche.

Si le satellite a juste assez de vitesse pour échapper complètement à la pesanteur de la terre (C' est la "vitesse d'évasion" V ), il s'éloigne assez de la terre, pour que k m/r ) pour que r tende vers zéro, et son énergie cinétique est également épuisée, puisque v= 0. Comme la somme E reste toujours identique, cela montre que pour une sonde spatiale échappant juste à la pesanteur de la terre, E=0. On a donc :

V² = 2k/R = 2 g R

Avec g = 9.81 et R =6 371 000 mètres , on trouve V à environ 11200 m /sec.

La manière la plus simple d'exprimer f est de passer par deux angles auxiliaires, qui augmentent, comme f , de 360 degrés à chaque orbite : "l'anomalie excentrique" E (ici cette lettre n'a rien à voir avec l'énergie) et "l'anomalie moyenne M" . Une équation existe alors reliant f et E, et une autre entre E et M. Le grand avantage de M est qu'il évolue proportionnellement au temps t:

M = M(0) + nt

M(0) est la valeur de M au temps t = 0 et n une constante (en relation avec celle de la 3° loi de Kepler )

L'anomalie moyenne est ce qui est pris en compte pour déterminer le troisième élément orbital.
Si on souhaite prévoir la position d'un satellite sur son orbite à un moment t donné, les lois de Kepler sur le mouvement elliptique sont assez précises. (En négligeant l'attraction de la lune, le frottement de l'atmosphère supérieure, etc.) La première étape est de calculer M à partir de la formule ci-dessus. Puis E est calculé d'après E, et finalement f l'est de E, travail facilement accompli par les ordinateurs .(Il fut un temps ou ces calculs étaient effectués sur papier, pas du tout aussi rapidement et facilement). La formule de la valeur de r donne alors la position du satellite sur son orbite ; le calcul n'exige que les éléments a, e et M(0)), l'anomalie moyenne à t=0.