| Avec, selon la 3ème loi de Newton
F12 =
-F21.
F13 =
-F31.
F23 =
-F32.
Et donc, la somme des 6 forces de la gravité étant égale à zéro, il reste :
(2π)2
[m1r1 + m2r2 +
m3r3] = 0
ou
[m1r1 +
m2r2 + m3r3] = 0
Cela montre qu'il faut que le point O, d'ou sont issus
(r1, r2, r3soit le centre de gravité des trois masses. C' est simplement une extension de ce qui a été dit en (section 25) : le centre de gravité reste fixe dans un groupe d'objets où les forces s'exercent l'une sur l'autre (comme ici la pesanteur entre les masses). (La même démonstration est facilement étendue à 4 objets ou plus.)
Relations vectorielles à utiliser Examinons maintenant les côtés (R2,
R3) du triangle en les considérant comme des vecteurs
(R2, R3), tous deux dirigés vers
m1 (Figure 2). En additionnant bout à bout les vecteurs, on obtient :
r1 = r2 + R3
r1 = r3 + R2
Sans oublier, évidemment,
r1 = r1
Multiplions les équations, dans cet ordre, par m2,
m3 et m1, et additionnons :
r1 (m1 + m2 +
m3) = [m2r2 +
m3r3 + m1r1] +
m3R2 + m2R3
Mais, comme on l'a vu, le terme entre crochet, à droite, est globalement égal à zéro (parce que O est le centre de gravité). Donc, si on note M l'ensemble des masses :
(m1 + m2 + m3) = M
Il reste :
M r1 = m3R2 +
m2R3
Nous introduisons deux vecteurs supplémentaires
ρ2 =
R2 (m3/M)
ρ3 =
R3 (m2/M)
ayant respectivement les directions (R2,
R3). L'équation précédente se simplifie en :
r1=
ρ2 +
ρ3
 Maintenant, nous interprétons graphiquement cette équation.
Les vecteurs (ρ2,
ρ3) ont les mêmes directions que
(R2, R3), et peuvent être représentés par les segments AE et AD du schéma 3. Cependant, l'équation
r1 =
ρ2 +
ρ3
et les propriétés de l'addition des vecteurs suggèrent que si AE représente ρ2, et que nous le combinions à un segment représentant
ρ3--sur AD et de même longueur -- alors le point résultant sera le point O. (ou en d'autres termes, si on ajoute un 4ème point à (A, D, E) pour former un parallélogramme, ce point sera en O.)
Et, maintenant, voici " la clé "! Les trois forces s'exerçant sur la masse
m1--soit, F12,
F13 et m1(2
πT)2r1 --sont en équilibre. Leur somme vectorielle est donc égale à zéro. Donc, si nous les réunissons bout à bout, ils forment un triangle fermé. .
Les vecteurs étant parallèles à (R2,
R3, r1), et donc à (
ρ3,
ρ2, r1), le triangle obtenu est semblable à A E O, les longueurs de ses côtés ayant les mêmes proportions que celle des vecteurs.
La longueur d'un côté du triangle est proportionnelle à l'importance du vecteur qu'il représente. Par exemple :
F12/F13 =
ρ3/ρ2
Eliminons les fractions, en multipliant les deux côtés par
(F13ρ2) on obtient
F12 ρ2=
F13 ρ3
Plus haut, il a été dit que :
ρ2 =
R2 (m3/M)
ρ3 = R3
(m2/M)
Par ailleurs, selon les lois de l'attraction universelle de Newton, avec G la "Constante de Gravitation"
F12 = G
m1m2/R32
F13
= G m1m3/R22 Insérez ces derniers dans l'équation F12
ρ2 = F13
ρ3 :
[G m1m2m3/M]
R2/R32 = [G
m1m2m3/M]
R3/R22
Divisons les deux côtés par les termes entre crochets :
R2/R32 =
R3/R22Et, éliminant les fractions en multipliant les deux côtés par
R22R32,on obtient finalement
R33 =
R23ce qui implique
R3 = R2
Nous aurions pu faire le même calcul avec la masse
m2, concernée par les côtés R1 et R3, ce qui aurait donné R1 = R3. Il suit que les côtés du ABC de triangle doit être égaux entre eux :
R1 = R2 = R3
Si ceci est vrai, il devient évident que l'équilibre est satisfait pour les 3 équations, et connaître G permet de calculer T. Le triangle équilatéral ABC est ainsi la base d'un véritable équilibre.
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