La grande utilité des logarithmes vient de :
(b) De même, la seconde règle permet de transformer un problème pénible de division en seulement une soustraction. (c) La troisième règle permet d'élever à la puissance Q n'importe quel nombre P, même si Q n'est pas un nombre entier. Pour utiliser ces règles il faut une méthode pour calculer (a) le logarithme logQ d'un nombre donné Q, et (b) inversement -- connaissant la valeur de log Q, trouver la valeur de Q. Jusqu'aux environs de 1970, (a) cela nécessitait l'usage de tables de logarithmes, avec un résultat jusqu'à un certain nombre de décimales. InterpolationPour passer de la valeur d'un logarithme à son nombre d'origine, nous repérons sur la table de logarithmes les deux entrées encadrant la valeur que nous connaissons, et nous les soustrayons pour calculer la différence de leurs valeurs.Supposons qu'en fin de calcul, le logarithme trouvé soit 0,45678. Sur la table de logarithmes, nous constatons que les deux nombres les plus rapprochés sont 0,45673 et 0,45686. La différence évaluée en unités de la dernière décimale est de 13 (86 moins 73), et le nombre désiré est séparé de 5 unités de la partie inférieure de l'intervalle (78 moins 73). Notre nombre est donc à 5/13 de la longueur de l'intervalle à partir de sa valeur la plus basse. Les deux nombres voisins sur la table indiquent que la réponse se situe entre 2,86240 et 2,86325, puisque :
0,45686 = log 2,86325 0,45678 ~ log 2,86273 Ce procédé, appelé interpolation, est souvent utilisé pour trouver la valeur d'une fonction correspondant à un point entre deux valeurs dans une table ou sur un graphique. Aujourd'hui, avec les calculatrices électroniques, il suffit d'appuyer sur le bouton "log" pour obtenir le logarithme et sur le "10x" pour récupérer le nombre initial (le bouton yx peut aussi être utilisé). Vous pouvez essayer avec ces chiffres! Notions complémentaires à retenir :
---Il n'y a pas de logarithme de zéro. Ce nombre -- appelons le x -- devrait satisfaire 10x = 0, et il n'y a pas de puissance de 10 égale à zéro. Comme un tableau précédent le montre, les quantités en diminution progressive (0,1) (0,01) (0,001), (0.0001), etc., correspondent aux logarithmes(–1),( –2),( –3),( –4) Et ainsi de suite, de plus en plus négatifs. Formellement, on pourrait dire le logarithme du zéro à la fin de cette série est donc égal à moins l'infini --mais, "l'infini" n'a pas les propriétés que l'on attend habituellement d'un nombre et il n'est donc pas considéré comme tel. Calcul approché des logarithmes
Dans ce qui suit, les logarithmes seront calculés avec une très large approximation puis par la suite (si votre patience tient le coup), un peu plus précise, dans la section M18. Et de nouveau : application de la Notation Scientifique des Nombres Comme déjà vu, ne servent que les logarithmes des nombres de 1 à 10, (de 0 = log 1 à 1 = log 10 ) (tous les chiffres, pas seulement les entiers). Grace à eux, on peut aussi manipuler les autres nombres non compris dans leur intervalle -- essentiellement, en les écrivant en notation scientifique (ou quelque chose d'équivalent). Supposons que nous cherchions
Logarithmes approchés des entiers de 1 à 10Voici une liste des puissances de 2, chacune du double de celle qui la précède:
210 = 1024, mais ce chiffre peut être arrondi à 1000 (d'ailleurs soit dit en passant, s'appeler "un kilo-octet", dans le contexte de la mémoire d'un ordinateur, pour 1024 octets, implique une semblable analogie !) . Donc, si En mettant sous forme de logarithmes de part et d'autre Une valeur plus précise est 0,301029995... , Ce n'est donc pas trop mauvais. Trois autres approximations en découlent : De même : Les suivantes, puissances de 3 , sont dans l'ordre : 3, 9, 27, 81 ... Ainsi 34 = 81 . Assez proche de 80 Cela permet de calculer deux autres logarithmes : 9 = 32 log 9 = 2 log 3 ~ 0,95 6 = 2.3 log 6 = log 2 + log 3 ~ 0,3 + 0,475 ~ 0,775 Et enfin puisque 74 = 2401 ~ 2400 = (3)(8)(100) En mettant en log des deux cotés, et avec notre approximation La collecte des résultats donne
Il ne faut pas s'attendre à des résultats précis pour des expressions qui n'ont souvent qu'une décimale. Par exemple, ici 3 log5 = 7 log2 alors que les nombres qu'ils représentent sont 125 et 128. Néanmoins, le calcul avec ces logarithmes approchés reflète la méthode générale. Exemple: (1) Supposons que nous cherchions (choix au hasard) x = 532 fois 373. En utilisant la notation scientifique
373 = 3,73 102 (2) Pour trouver le logarithme de 5,32, à l'aide de notre approximation : nous connaissons les logarithmes de 5 et de 6, et il faut maintenant trouver l'intermédiaire proche de la valeur de log 5,32 (ce processus --"interpolation"--est similaire à celui utilisé pour trouver des valeurs intermédiaires sur une table imprimée exacte à, disons, 5 chiffres décimaux). Sur notre table, la différence entre log 5 et log 6 est 0,75. Si nous voulons avancer de 0,32, il vient (0,32). (0,75) = 0,24 (le fait accidentel que 0,75 = 3 / 4 aide à calculer!). Donc, on ajoute 0,24 à la valeur (" brute ") log5 = 0,7 , ce qui donne
(3) Et maintenant, il reste à trouver le produit (5,32). (3,73): A quel nombre se rattache le logarithme 1,29 ? Négligez la partie entière de l'ensemble du nombre, qui va simplement contribuer à la puissance de 10 dans le résultat final. En notation scientifique, la "partie principale" du logarithme correspond à la partie fractionnaire 0,29. Ce n' est qu' 1 / 30 de moins que 0,3, notre approximation de log 2. Donc, nous pensons que le résultat sera proche de 2, fois une puissance de 10. Mais comme 0,29 est inférieur à log2 (approché), de 1 / 30 de sa valeur, nous supputons que la "partie principale" sera de 1 / 30 en dessous de 2, ce qui donne 1,967. A ce résultat, il faut ajouter la puissance de 10. Maintenant la partie entière du logarithme devient
---2 de plus en raison du facteur 102 dans 373 ---1 encore en plus en raison de la partie à gauche de la décimale après l'addition des logarithmes sont additionnés, -- Donc un total de 5. . La Multiplication avec une calculatrice donne 198 436. Ce résultat est donc inexact, tout comme ses outils; Mais avec des logarithmes précis à 6 ou 7 chiffres, des démarches similaires donneraient une meilleure précision. Elles ont étés, il y a un siècle, la méthode habituelle: aujourd'hui, les logarithmes ne sont plus primordiaux en informatique, mais d'autres utilisations demeurent. Note: Juste comme la multiplication et la division s'opposent, ou l'addition et la soustraction, de même "trouver un logarithme" peut être parfois considéré comme l'inverse d' "élever à une puissance." Si vous tracez le graphique y = 10x et le renversez autour d'une diagonale y = x depuis son origine, vous obtenez un graphique qui ressemble à celui (en axes x-y habituels) de y = log10 x, le genre de logarithmes ( " en base 10 ") que nous traiterons ci-dessous. Ecriture des logarithmes des Nombres inférieurs à 1Comme déjà vu, les logarithmes des nombres comprenant les mêmes chiffres, mais avec une autre place pour la virgule, ne diffèrent que par les chiffres donnant le nombre entier. Avec une approximation à 5 décimales :Ici, le lien intuitif à log 2 est soudainement perdu, puisque maintenant la fraction décimale diffère! Différentes méthodes existent pour maintenir ce lien. Certains écrivent Et d'autres encore écrivent 1,30103 mais ensuite mettent un signe moins au dessus du "1" pour montrer qu'il est une quantité négative (OK pour l'écriture, mais c' est plus difficile à taper). Choisissez ce que vous préférez, mais sachez que des règles légèrement différentes s'appliquent aux nombres inférieurs à 1! La règle à calcul
La règle à calcul est un dispositif basé sur le calcul par les logarithmes, largement utilisée par les ingénieurs avant l'introduction des calculettes (Certains élèves allaient même jusqu'à la porter dans un étui pendu à la ceinture, un peu comme une petite épée!).
La composante de base de cette règle glissière est une règle logarithmique . C'est une règle sur laquelle sont gravés les nombres de 0 à 1 (avec en plus de fines divisions intercalaires, généralement jusqu'à la 3e décimale), inégalement réparties, de sorte que toute graduation est distante de la marque "0" proportionnellement à son logarithme. Deux réglettes porteuses de telles échelles sont disposées parallèlement et peuvent glisser l'une par rapport à l'autre. En fait, une est mobile, généralement solidaire d'une rainure au milieu de la règle. L'autre échelle, "fixe", peut se situer d'un seul côté ou des deux. Un troisième élément essentiel est le curseur, transparent, avec un trait perpendiculaire à la règle logarithmique, pouvant glisser de part et d'autre de celle-ci. Son rôle est de repérer une position sur la règle. 
Si voulons multiplier deux nombres A et B, entre 1 et 10, au lieu d'ajouter leurs logarithmes et de trouver l' "antilogarithme" de la somme, ici nous ajoutons les longueurs des deux sections de l'échelle, puis revenons à l'échelle d'origine pour trouver à quelle longueur correspond ce nombre combiné. Par exemple, supposons que nous multiplions 3 fois 2. Sur l'échelle fixe, trouver "3" et y placer le curseur. La conception de la règle fait que la distance du curseur à la graduation d'origine est proportionnelle au log 3. Faites ensuite glisser l'échelle mobile pour placer le début de sa graduation exactement sous le curseur. Déplacer ensuite le curseur (les règles à calcul sont construites de façon à ce que ce mouvement ne perturbe pas la position -- une fois mis en position, il y reste). Placez-le sur le numéro 2 de l'échelle mobile. La distance du curseur à partir de celui-ci représente log 2, et sa distance à partir du début de la règle fixe est maintenant (log2 + log3). Reporter ce chiffre sur la règle fixe en redéplaçant le curseur: c'est le produit! (Et calculer 3,45 fois 2,34 est tout aussi rapide). Pour plus de renseignement, voir http://en.wikipedia.org/wiki/Slide_rule Bien entendu, il semble qu'il faille quelquefois déplacer le curseur au-delà de l'extrémité de l'échelle. Supposons que vous multipliez 3 fois 4: en suivant la procédure ci-dessus, vous constaterez que "4" de la règle mobile se situe au-delà de l'extrémité de la règle, là où le curseur ne peut être placé. Dans ce cas, ne pas placer l'origine de la règle mobile sous le curseur, mais son extrémité distale. Maintenant, en déplaçant le curseur sur "4", vous constaterez que cela donne "1,2" sur l'échelle fixe. Bien sûr, il faudra ajuster le point décimal. Ici encore, multiplier 3,98 fois 4,32 est tout aussi rapide. Ce n'est qu'un début ! Pour diviser, utilisez la glissière pour soustraire les longueurs, La plupart des règles ont diverses échelles, des deux côtés. La règle à calcul sur les photos présente des divisions de 1-10 sur un côté de l'échelle mobile et de 1-100 (deux échelles de 1-10, moitié moins large) de l'autre côté. Utiliser l'échelle de 1-100 permet de procéder à des multiplications comme 3 fois 4 sans inverser les côtés --, mais puisque l'échelle est petite, la précision est elle aussi réduite. Aussi, la graduation "9" de l'échelle 1-100 correspond à "3" de l'échelle 1-10. Donc, placer le curseur sur x sur l'échelle 1-10 puis en rechercher le nombre correspondant sur 1-100 donne x22, quoique la puissance de 10 en notation scientifique doive être calculée ou évaluée. Similairement, le manipulation inverse donne la racine carrée √x ou x0.5. Ici, toutefois, la prudence s'impose dans l'application de la notation scientifique. Placer le curseur sur 3 (sur l'échelle 1-100) aide à obtenir les racines carrées avec des numéros de même nombre de décimales -- 3, 300, 30.000, 3.000.000 et ainsi de suite, aussi 0,03. 0,0003 etc. Mettre sur 30 permet de tirer des racines carrées de nombres impairs avec de nombreuses décimales - 30, 3000, 300,000 ,et aussi 0.3, 0.003 etc. Des variantes existent - des échelles circulaires, par exemple. Et sur le Web, vous pouvez encore aujourd'hui acheter ces règles, même si elles peuvent être d'occasion. Les logarithmes dans la NatureSeuls quelques exemples peuvent être donnés.(1) Les magnitudes des étoiles ont d'abord été définies par Hipparque, qui avait cartographié les cieux de la Grèce antique. Aux étoiles les plus brillantes la magnitude "1"a été affectée, le niveau suivant étant "2", jusqu'aux étoiles de magnitude 6, à la limite de la visibilité, avec une bonne vue au cours d'une nuit très pure. Il s'agissait d'un classement assez subjectif. Aujourd'hui, les astronomes peuvent mesurer électroniquement le flux lumineux L des étoiles, et à partir de là (avec corrections de variation de couleur!) réassigner des "magnitudes stellaires" M correspondant à peu près aux valeurs de Hipparque. La formule (due à Pogson, 1856) est : L'étoile la plus brillante présente l'éclat le plus grand L et la plus petite magnitude. (L'unité de mesure de L importe peu, c'est juste une question de constante). Il s'est avéré qu'avec cette formule les étoiles les plus brillantes soupassent l'échelle de 1 de quelques fractions et même atteignent des valeurs négatives: Sirius a une magnitude de -1.5, Jupiter peut atteindre -2,8 et Vénus est la plus brillante : -4.4. À l'opposé, de longues poses sur de grands télescopes (voir l'image "deep field" du télescope spatial Hubble) ont cartographié des magnitudes dépassant +30. (2) La loi de Weber - Fechner, une loi expérimentale du 19e siècle, indique que les sens humains réagissent logarithmiquement. Si R est ce que nous ressentons et S est le stimulus La loi a été modifiée depuis, mais elle est toujours approximativement vraie. Par exemple, l'intensité du son est mesurée en unités appelées bel (en l'honneur d'Alexander Graham Bell), et bien qu'un bruit de 5 bels résonne juste un peu plus fort que 4 bels, en fait, il transporte 10 fois plus d'énergie. Un dixième de bel est bien sûr un decibel, un terme plus répandu. (3) L' échelle de Richter des tremblements de terre mesure le logarithme de l'énergie libérée. Un tremblement de terre enregistrant 8,2 sur l'échelle de Richter transporte 10 fois plus d'énergie qu'un de 7,2 (4) La vitesse atteinte par une fusée (en négligeant la phase de largage, etc) n'augmente qu'en fonction du logarithme de la masse de carburant. Cela est rapidement démontré à la fin de la section sur les fusées ("Rocket Motion"). C'est la croissance lourde des logarithmes à haut niveau qui rend les lancements difficiles et coûteux! Quizz rapide---Selon les valeurs approximatives données plus haut, quels sont les logarithmes approchés de 20, 200, 0,16, 2007 (environ 223 ou 224), 0,125?---Puisque la constante π (=3,14...) est approximativement la racine carrée de 10 (3,16 ...), quelle est la valeur approchée de son logarithme? ---Nous recherchons log 460. Si log 4 = 0,6, log 5 = 0,7, quel est approximativement le log 460? ---Un tremblement de terre de magnitude 5.6 ravage le nord de San Jose, Californie, lors des fêtes de Halloween en 2007. Combien d'énergie en plus que pour une magnitude 5? Faites le avec vos propres log approchés. ---La Comète Holmes est une faible et vielle comète, atteignant à peine l'orbite de Jupiter et connue depuis le 19ème siècle. Elle était habituellement stabilisée à la 17ème magnitude, mais en Octobre 2007 elle brillat soudain pour atteindre la 3ème magnitude (Il reste à en établir les raisons ). De combien de fois brilla-elle plus ? (Voir aussi ici, ici, ici et ici. Obtenez vous un surplus de 375 000 fois?) Ici prend fin cette brève introduction aux logarithmes communs et à certaines de leurs utilisations. Si vous ne cherchez qu'une compréhension de base, vous pouvez vous arrêter ici ; Même si certains aspects plus avancés seront ajoutés plus loin. |