(14) Les vecteurs

Vecteurs : Prolongements des nombres

Le concept des nombres s'est développé très graduellement. Au début il y avait les nombres entiers positifs -- 1,2,3... (et non zéro, un apport beaucoup plus récent) qui servait à décrire des objets que l'on peut compter, tels que des moutons, des jours, des membres de tribu, etc...

Le concept de nombres négatifs peut être conçu comme une prolongation de la soustraction, peut-être celle de l'argent, vos dettes étant des richesses négatives, à l'encre rouge dans le gros cahier.

Les objets qui peuvent être divisés, les terrains , par exemple, sont à l'origine des fractions. Par la suite, vers 500 ans BC, l'école de Pythagore a démontré que la racine carrée de 2 ne peut jamais être mise en fraction : Cela n'avait aucun sens pour eux, et donc nous disons toujours que ce sont des nombres "irrationnels". Avec les nombres entiers, les fractions et les irrationnels on peut décrire tout ce qui a une grandeur, une magnitude.

Mais comment décrire une vitesse, qui présente à la fois une grandeur et une direction ?

Un vecteur, voilà ce qui est nécessaire !

Addition de vecteurs

Les vitesses peuvent être ajoutées. Supposez qu'un avion vole à 200 M/H (ou si vous préférez, kilomètres par heure) avec un vent arrière de 100 M/H. Quelle distance parcourt - il par rapport à la terre ? Facile : Quand il a avancé de 200 milles, le vent l'a poussé en plus de 100 milles, et la réponse est

Graphiquement, chaque distance sur terre ,ou chaque vitesse, peut être représenté par une flèche qui donne la direction, et dont la longueur donne la valeur. Par exemple, une flèche AB de 200 millimètres de long pour le mouvement propre de l'avion et encore une autre, BC ,de 100 millimètres de long, dans la même direction, pour le vent. Pour ajouter les vitesses, mettez-les bout à bout, comme ici dans en haut de la figure .

et "l'addition des flèches" (figure du milieu) le confirme.

Supposons maintenant que le pilote se dirige vers l'est, mais qu'il y a un vent vers le nord-est, de 100 M/H : dans quelle direction l'avion se déplace-t-il, et à quelle vitesse ? Ici, l'intuition ne suffit pas, mais "l'addition des flèches" permet de résoudre le problème.(figure du bas, non à l' échelle).

La règle générale est que les vitesses combinées déportent l'avion au même point que si le premier mouvement, puis l'autre, agissaient successivement pendant le même temps, une heure. Comme prévisible, la direction est quelque part entre l'est et le nord.

  Tous les vecteurs peuvent ainsi être ajoutés, comme les flèches, de la tête à la queue. Mais il existe une autre méthode , souvent plus facile à employer, qui est décrite ci dessous.

Résolution des vecteurs en leurs composants

   Soit un unique vecteur donné, représenté par la flèche AB sur le schéma. Nous souhaitons le décomposer en l'addition de deux vecteurs disposés le long de AA' et AA". Depuis l'origine du vecteur (A) nous traçons des droites sur AA' et AA" , puis leurs parallèles pour rejoindre l'extrémité (B) du vecteur. Si AA' 'et AA" sont perpendiculaires entre eux ( cas habituel ), ces droites forment alors un rectangle ACBD, dont AB est une diagonale. Il est maintenant clair que CA et CB représentent la solution à notre problème, et, dans l'addition des vecteurs :

AC + CB = AB

Utilisations des vecteurs composants

(a) Addition de plusieurs vecteurs

  Une façon plus rapide est de choisir deux directions perpendiculaires: en choisissant des coordonnées cartésiennes, une direction sera appelée la direction de "x" et l'autre celle de "y". Décomposons chaque vecteur V en "composants de x": V_x ,et en "composants de y": V_y, selon celle de y.

   On obtient maintenant non pas 10, mais 20 vecteurs qui doivent être ajoutés, mais le travail est beaucoup plus simple. Parmi ces vecteurs, 10 sont alignés dans la direction de x, mais les vecteurs de même direction s'ajoutent comme des nombres ordinaires (comme les vitesses de vent "dans le nez" ou "arrière" de l'avion dans l'exemple précédent). Il en va de même pour les 10 vecteurs alignés dans la direction y. Le problème se réduit maintenant à deux séries d'additions ordinaires, ou de soustractions (un vecteur en direction opposée ayant un signe négatif ). Ce n'est que pour la dernière étape, la combinaison des deux totaux généraux dans les directions x and y, qu'il est besoin d'une addition de type vectorielle.

Note: Le monde est en réalité tridimensionnel, et donc aussi ses vecteurs. Mais les vecteurs 3-D peuvent également être calculés, chacun d'eux équivalant à la somme des trois vecteurs de directions (x,y,z) (le rectangle devient maintenant une "boîte rectangulaire"). Les composants sont ajoutés de la même façon que dans l'exemple à deux dimensions, et l'addition finale implique juste un somme des vecteurs de chaque orientation. La résultante des vecteurs est maintenant la diagonale de la boîte rectangulaire dont la somme est l'addition des trois cotés.

(b) Calcul d'une somme "résultante" de vecteurs

Dans l'exemple de l'addition des vecteurs, un avion vole vers l'est à 200 M/H (sa vitesse anémométrique, sa vitesse mesurée relativement à l'air), et il y a un vent de 100 M/H vers le nord-est. Le triangle d'addition des vecteurs de cet exemple est en bas de la première figure de cette section.

Posons x la direction vers l'est, et y celle vers le nord. les composants de la vitesse (x, y) sont alors, en M/H :

• --... Ceux de la vitesse anémométrique, (200,0)
• --... Ceux de la vitesse du vent (100 cos 45^o, 100 sin 45^o) = (70.7, 70.7)

Ceci donne la vitesse résultante, V. Par le théorème de Pythagore,

et la valeur de V est approximativement de 280 M/H, alors que l'angle aigu du point A de la figure (nous l'appellerons aussi A) correspond à

D'ou l'on tire A = environ 16.25 °.

(c) Le plan incliné

•   L'une, représentée par la ligne C.A. perpendiculaire à la surface, dont la valeur est W cos s. Cette force est complètement annulée par la résistance de la surface, qui ne permet aucun mouvement dans cette direction. Mais si le mouvement inclut une force de frottement, elle lui est proportionnelle.

•   L'autre force, parallèle à la surface, représentée par la ligne AD, est de valeur W sin s En l'absence de frottement qui freinerait le mouvement, le bloc accélère librement dans cette direction. La force, plus petite que le poids W,vaut sin s, un nombre toujours inférieur à 1 (c' est le "facteur multiplicateur"). Et puisque la masse du bloc reste identique, son accélération se réduit donc d'un facteur semblable: elle n'atteint pas g comme pour la chute libre, mais seulement g sin s.