(M-4) Identità

In alcune manipolazioni algebriche, intere espressioni vengono moltiplicate. Per esempio, si può scrivere

(a + b)c = ac + bc

Questa non è un'equazione ma un' identità, una espressione verificata per ogni tre numeri (a,b,c). Per esempio, se a = 3, b = 7, c = 5, allora

(3 + 7)(5) = (3)(5) + (7)(5) = 15 + 35 = 50

Se invece è l'addizione che viene eseguita per prima

(3 + 7)(5) = (10)(5) = 50

Le identità non aggiungono alcuna informazione sulle quantità che contengono, perché sono vere per ogni valore che tali quantità possono assumere. Tuttavia sono utili nel rimaneggiare le equazioni in nuove forme più chiare. L'identità scritta in alto è in realtà una delle proprietà fondamentali dei numeri ("la legge distributiva"). Da essa si ha più in generale

(a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d

che può essere ulteriormente spezzata e che vale per ogni valore di (a,b,c,d). In particolare

(a + b)² = (a + b)(a + b) = (a + b)a + (a + b)b

= a² + ba + ab + b²

= a² + 2ab + b²

che è abbastanza utile (potete provarla con alcuni specifici valori di a e b). Similmente

(a – b) ² = (a – b)(a – b) = (a – b)(a) + (a – b)( –b)

= a² – ba – ab + b²

= a² – 2ab + b²

Di nuovo, le due ultime identità

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²

sono verificate per ogni valore di a e b, e come si vedrà, sono molto utili nel dimostrare il Teorema di Pitagora.