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#M-6  Il Teorema di Pitagora

(M-5) Ricavare Risultati Approssimati

Un Calcolo Preliminare

  Data una frazione a/b, si può moltiplicare o dividere la sua parte superiore e inferiore ("numeratore e denominatore") per lo stesso numero c:

(a/b)   =   (ac)/(bc)

dove (ricordate?) le due lettere ac stanno per "a per c" e lo stesso vale per bc.

  Ciò accade perché (c/c) = 1, non importa quale sia il valore di c (tranne naturalmente lo zero: "Non Dividerai per Zero") e moltiplicando qualsiasi cosa per 1 non cambia il suo valore. Nel prodotto di frazioni, la regola è moltiplicare la parte superiore con la parte superiore, la inferiore con la inferiore, così da avere

(a/b) (c/c)   =   (ac)/(bc)

Riguardo il dividere la parte superiore e inferiore per lo stesso numero d

(a/b)   =   [a/d]/ [b/d]

essa consegue subito dalla precedente, se si sceglie il numero c uguale a 1/d.

Lavorare con Piccole Quantità

  Alcune equazioni, identità o formule contengono piccole quantità, e queste possono essere rese molto più semplici e facili da usare sacrificando un pò di accuratezza. Infatti, alcune equazioni che non hanno per niente una soluzione semplice (come l'equazione di Keplero nella sezione (12a)) possono dar luogo in questo modo ad una soluzione approssimata, spesso abbastanza buona per la maggior parte degli usi, o comunque suscettibile di ulteriore miglioramento.

  Molti di questi calcoli fanno uso delle seguenti osservazioni. Quando ricaviamo i quadrati, le 3e potenze, le 4e potenze di numeri più grandi di 1, i risultati sono sempre più grandi, mentre per i numeri più piccoli di 1, i risultati sono sempre più piccoli. Per esempio:

  potenza    Più di 1     Meno di 1 
numero   10   0.1
quadrato   100   0.01
3a potenza   1000   0.001
4a potenza   10,000   0.0001

Quanto sopra vale anche per i numeri negativi, se si intende "più grande" e "più piccolo" riferiti al valore assoluto (il valore senza il segno). Per esempio:

  potenza    Più di 1  Meno di 1
numero   – 10   – 0.1
quadrato     100     0.01
3a potenza   – 1000   – 0.001
4a potenza     10,000     0.0001
5a potenza   – 100,000   – 0.00001

Diciamo che z è un numero molto più piccolo di 1 (scritto z << 1, o per valori assoluti |z| << 1). Quindi per l'dentità della sezione sezione M-3

(1 – z)(1 + z) = 1 – z2

Siccome z2 è molto più piccolo di 1 o z, possiamo scrivere, usando il simbolo ~ per "circa uguale"

(1 – z)(1 + z) ~ 1

e dividere ambo i membri per (1 – z)

(1+z) ~ 1/(1– z)

(Molti testi usano il simbolo ~ non da solo ma messo sopra un segno di uguale; tuttavia, tale combinazione non è disponibile per i documenti su internet). Per esempio (controllate con la vostra calcolatrice)

    Se           z = 0.01,     (1+z) = 1.01,      (1– z) = 0.99,

    allora      1/(1– z) = 1/0.99 = 1.010101...

che è abbastanza vicino a (1+z) per molti scopi.

 La regole di base è: si possono trascurare le piccole quantità come z, z2, z3 etc. quando sono sommate a (o sottratte da) qualcosa di più grande. Non si può farlo se sono solo moltiplicate o divise, perchè in quel caso, se fossero rimosse, non rimarrebbe niente dell'espressione che li contiene.

  Qui z può essere positiva o negativa. Se scriviamo z = – y, dove y è un numero piccolo di segno opposto, abbiamo

(1– y) ~ 1/(1+y)

che è un altro utile risultato, valido per ogni numero piccolo. Se quel numero piccolo è rinominato di nuovo e ora è chiamato z (non la stessa z di prima, naturalmente), abbiamo

(1– z) ~ 1/(1+z)

che può anche essere ottenuta dalla equazione precedente

(1 – z)(1 + z) ~ 1

dividendo entrambi i membri per (1 + z).

  Nella sezione (34a) dove viene calcolata la distanza dal punto di Lagrange L1, risulta necessario approssimare 1/[1– z]3. Si inizia da (1+z) ~ 1/(1– z) e si elevano ambo i membri alle loro 3e potenze:

(1+z)3 ~ 1/(1– z)3

Si sviluppi il primo membro:

(1 + z)3  =   (1+z)(1+z)(1+z) = (1 + 3z + 3z2 + z3)

Tuttavia, se z2 e z3 sono molto più piccole di z, allora trascurando i termini che le contengono l'errore aumenta solo leggermente, lasciando

1/(1– z)3  ~  1 + 3z

La prossima sezione è facoltativa.

Un ulteriore passo: Il Teorema Binomiale

Formalmente 1/(1–z)3 è (1– z) elevato a  –3. Ciò suggerisce che più in generale, per piccole z e per ogni valore di a

(1–z)a  ~  1 – az
1/(1– z)a  ~  1 + az

e similmente

(1 + z)a  ~  1 + az
1/(1 + z)a  ~  1 – az

(queste sono la stessa formula, per z e a positivi e negativi). Ciò infatti è vero, e a può essere positivo, negativo o frazionario. È la conseguenza di un risultato dimostrato per prima da Newton, il suo cosiddetto teorema binomiale. Per quelli interessati, quella formula afferma

(1 + z)a = 1 + az + [a(a–1)/2] z2 + [a(a–1)(a–2)/6] z3 + ...

dove il denominatore della frazione che precede ogni potenza zn è ottenuto moltiplicando tra loro i numeri interi (1,2,3... n), un numero generalmente denotato con n! e chiamato "n fattoriale."

    Se a è un numero intero positivo, la sequenza a, (a-1), (a-2)... alla fine raggiunge lo zero, e il termine dove ciò si verifica per prima vale esso stesso zero, così come tutti quelli che seguono, ognuno dei quali contiene un moltiplicatore ("fattore") zero. La serie di potenze di z quindi finisce con za e abbiamo formule come quella ricavata precedentemente per a=3:

(1 + z)3  =   (1 + 3z + 3z2 + z3)

       Questi casi del teorema binomiale erano noti prima di Newton. Infatti Omar Khayyam (1044-1123), secondo il sito citato qui, era considerato il primo ad aver ricavato il teorema e i suoi coefficienti, per potenze che sono numeri interi positivi (alcuni sostengono che fosse conosciuto anche prima di allora). Khayyam--che significa "falegname," his "takhallus" o pseudonimo--è meglio conosciuto is better known oggi per il suo "Rubaiyat" collezione di poemi di quattro righe (o quartine), resi famosi dopo che Edward Fitzgerald nel 1839 ha dato loro una traduzione ispiratrice in inglese.
    Newton mostrò che il teorema valeva anche per valori negativi e frazionari di a, dove la serie al secondo membro continua verso potenze sempre più alte z, senza fine. Se z è piccola queste potenze diventano rapidamente trascurabili, e non è un grande errore ometterle e scrivere (per z di qualsiasi segno)

1/(1 + z)a  ~  1/(1 + az)   ~   1 – az


Nota:     Perché non dividere per zero? Non funziona. Non esiste alcun numero come 1/0 (tranne forse l'infinito, che non è un numero regolare), e l'uso di espressioni come 0/0 possono portare a contraddizioni come 2 = 3.


Prossimo Argomento:   #M-6    Il Teorema di Pitagora

Autore e Curatore:   Dr. David P. Stern
Ci si può rivolgere al Dr. Stern per posta elettronica (in inglese, per favore!):
                                stargaze("chiocciola")phy6.org

Traduzione in lingua italiana di Pietro Sauro

Aggiornato al 25 Novembre 2001