(M–6) Il Teorema di Pitagora

Pitagora di Samo era un filosofo Greco vissuto intorno al 530 AC, soprattutto nella colonia greca di Crotone nell'Italia meridionale. Secondo la tradizione fu il primo a dimostrare l'asserzione (teorema) che oggi porta il suo nome:

Se un triangolo ha i lati di lunghezza (a,b,c), con i lati (a,b) che racchiudono un angolo di 90 gradi ("angolo retto"), allora

a² + b² = c²

Un angolo retto può essere qui definito come l'angolo formato da due linee rette che si intersecano in modo che tutti e 4 gli angoli ottenuti siano uguali. Il teorema funziona anche all'inverso: se la lunghezza dei tre lati (a,b,c) di un triangolo soddisfa la relazione di cui sopra, allora l'angolo tra i lati a e b deve essere di 90 gradi.

Per esempio, un triangolo di lati a = 3, b = 4, c = 5 (pollici, piedi, metri--ciò che si vuole) è un rettangolo, perché

a² + b² = 3² + 4²

= 9 + 16 = 25 = c²

Gli antici costruttori Egiziani possono aver conosciuto il triangolo (3,4,5) ed averlo usato (con aste o corde graduate) per costruire angoli retti; anche i costruttori di oggi possono ancora inchiodare assieme delle tavole di quelle lunghezze per rettificare un angolo.

Esistono diverse dimostrazioni e quelle più semplici sono probabilmente quelle basate sull'algebra, usando le identità elementari discusse nella sezione precedente, cioè

(a + b)² = a² + 2ab + b²

15² = (10 + 5)²
   = 10² + (2)(10)(5) + 5²
   = 100 + 100 + 25    = 225

e

(a – b) ² = a² – 2ab + b²

5² = (10 – 5)²
   = 10² – (2)(10)(5) + 5²
   = 100 – 100 + 25    = 25

È anche necessario conoscere alcune semplici aree: l'area di un rettangolo è (lunghezza) per (ampiezza), così l'area di quello disegnato sopra è ab. Un taglio diagonale lo divide in due triangoli rettangoli con i lati corti a e b, e l'area di tale triangolo è perciò (1/2) ab.

Ora guardate il quadrato sulla sinistra costruito su quattro triangoli (a,b,c). La lunghezza di ogni lato è (a+b) e perciò l'intero quadrato ha un'area di (a+b)².

Tuttavia, il quadrato può anche essere diviso in quattro triangoli (a,b,c) più un quadrato di lato c al centro (a rigor di termini, dovremmo anche provare che è un quadrato, ma salteremo quella parte). L'area di ogni triangolo, come mostrato prima, è  (1/2)ab, e l'area del quadrato è c². Dal momento che il quadrato grande è uguale alla somma di tutte le sue parti

(a + b) ² = (4)(1/2)(a)(b) + c²

Usando l'identità per (a + b)² e moltiplicando (4)(1/2) = 2

a² + 2ab + b² = 2ab + c²

Sottraete 2ab da ambo i membri e vi rimane

a² + b² = c²

Lo stesso risultato può anche essere visualizzato utilizzando un quadrato diverso, di area c². Come mostra il disegno sulla destra, tale area può essere divisa in 4 triangoli come quelli di prima, con in più un piccolo quadrato di lato (a– b). Abbiamo

c² = (4)(1/2)(a)(b) + (a– b) ²

= 2ab + (a² – 2ab + b²)

= a² + b² Q.E.D.

Q.E.D. sta per "quod erat demonstrandum", in Latino per "come volevasi dimostrare", e nei libri di geometria tradizionali quelle lettere denotano la fine di una dimostrazione. L'importanza del lavoro di Pitagora e dei successivi maestri della geometria greca (specialmente Euclide) fu non solo in cosa essi dimostrarono, ma del metodo che svilupparono: partire da alcune affermazioni elementari che sono assunte come valide ("assiomi") e dedurre con la logica le loro conseguenze più complicate ("teoremi"). La Matematica segue ancora lo stesso modello.

  Per una applicazione pratica del teorema di Pitagora--ricavare la distanza dall'orizzonte (trascurando gli effetti atmosferici)--si guardi qui.