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(M-13)   Logaritmi

Introduzione

    I logaritmi, in un certo senso, sono il ponte tra l'algebra elementare e una matematica più avanzata. Così come nel resto del sito "Dagli astronomi alle astronavi", anche qui viene evitato il calcolo differenziale, sebbene questo possa essere molto utile per la comprensione. Pertanto, è meglio vedere queste sezioni come un supplemento facoltativo. Dopo 4 sezioni è prevista una pausa naturale – poco prima dell'introduzione del numero "e", e l'utente può fermarsi lì, o in alternativa, può continuare. E tenete presente che queste sezioni cercano di soddisfare una grande varietà di utenti: se eventuali parti vi sembrano elementari o ripetitive, semplicemente superatele con rapidità!

Panoramica

    Un logaritmo di un numero dato (il suo "log" per brevità) è un altro numero, legato ad esso da qualche relazione. In altre parole, è una "funzione" di quel numero. Supponiamo che il numero scelto sia "2". L'utente dovrebbe giÓ conoscere alcune relazioni di base:

    – L'opposto negativo (–2) . Questo è il numero che, sommato a 2, lo porta a zero.

    – L'inverso di 2 o 1/2 = 0,5. Questo è il numero che, moltiplicato per due, ci riporta a 1, la pietra miliare di ogni moltiplicazione.

    – Il quadrato di 2 ovvero 2*2 = 4, è il numero moltiplicato per se stesso.

A queste si può aggiungere ora:

    – Il logaritmo di 2 o log 2 = 0.301029995... ?
    Questo numero (come √2 = 1,41321 ..., la radice quadrata di 2) non può essere espresso come una frazione (comune o decimale) finita, ma continua all'infinito. La proprietà che lo definisce è
2 = 100.3010299.. = 10log 2

Ciò solleva alcune domande:
    – Come si definiscono le potenze di 2 che non sono numeri interi?
    – Come si ricavano i logaritmi, cioè i numeri come log2 = 0,3010299..
    Che cosa rende i logaritmi utili o importanti?
       Si può ad esempio ricordare il regolo calcolatore usato dagli ingegneri per rapide moltiplicazioni e divisioni (di accuratezza limitata, ma spesso sufficientemente buona per il lavoro). Esso si basava sui "log". Come funzionava?

Un esempio facoltativo di calcolo in cui si usano i logaritmi

Per moltiplicare due numeri A e B usando i logaritmi (il metodo usato prima dell'avvento delle calcolatrici):
    – Trovate i logaritmi di A e B, utilizzando le tabelle.
    – Sommate i logaritmi
    – Usando le tabelle dei "log" (o tavole logaritmiche), trovate
        il numero il cui logaritmo è uguale alla somma (o utilizzate
        una tabella di "anti-log" dove il valore del logaritmo è
        il dato in ingresso e la tabella vi restituisce il numero).
    – Quella è la vostra risposta.
    L'esempio seguente mostra come si fa – non spiega perché funziona (ciò verrà fatto più tardi). Le tavole logaritmiche cartacee non sono più molto utilizzate, perciò l'utente del file di queste pagine web dovrebbe avere invece a portata di mano una calcolatrice elettronica – una che non solo aggiunga, sottragga, moltiplichi e divida, ma che abbia anche operazioni come "log" che forniscono l'equivalente delle tavole logaritmiche. Aiuterebbe anche, se disponesse di tasti per operazioni come 10x oppure yx; questi forniscono l'equivalente delle tavole "anti-log", che per un dato logaritmo riportano qual è il numero corrispondente. Nell'usare il tasto yx, viene inserito il numero y, viene premuto il pulsante, quindi viene inserito il numero x, e l' "=" fornisce il risultato).

    Fino al 1970 circa, queste calcolatrici erano sconosciute. Dei calcolatori meccanici per le prime 4 operazioni – azionati da una manovella, o più tardi da un motore elettrico – erano in uso limitato, ma erano costosi, così come la loro riparazione. I registratori di cassa usavano metodi alquanto simili, ma per moltiplicare due numeri (anche quelli grandi), o dividerli, la maggior parte delle persone usava metodi "carta e matita" insegnati a scuola.

    Tali metodi possono dare soluzioni molto precise. Tuttavia, in molte applicazioni ingegneristiche, una precisione di 4 o 5 cifre decimali (o altro) è sufficiente. Per tali applicazioni, le tavole logaritmiche che abbiano una precisione corrispondente consentono di risparmiare molto tempo e fatica, sostituendo la moltiplicazione con un'addizione – o in altri casi, la divisione con una sottrazione. Per le ragioni descritte di seguito, sono necessari solo i logaritmi di numeri compresi tra 1 e 10, mettendo la parte frazionaria del logaritmo a destra della virgola (la "mantissa"). La parte a sinistra della virgola ("caratteristica") determina la posizione della virgola stessa. Per esempio, se (in passato) avessimo voluto moltiplicare 123,45 per 98,765 , usando i logaritmi avremmo scritto

    log 123,45 = 2,091491
    log 98,765 =1,994603
    Sommando 4,086094
Ora cerchiamo nella tabella dei logaritmi il numero il cui logaritmo è la parte frazionaria della somma, in questo caso 0,086094 (una tavola di "antilogaritmi", spesso riportata con i logaritmi, può accelerare la ricerca. Sulla vostra calcolatrice utilizzate il tasto 10x). Questo dà un numero compreso tra 1 e 10
1,21921328
Il numero "4" posto all'inizio indica ora che la virgola deve muoversi di 4 posti a destra, quindi
(123,45).(98,765) = 12.192,53

La vera moltiplicazione ci dà 12.192,54

Per dividere 456.789 per 12.345, i logaritmi vengono sottratti

    log 456.789 = 5,659716
    log 12.345   = 4,091491
    Sottraendo 1,568224
    La parte frazionaria della differenza è 0,568224, che è uguale al logaritmo di 3,700197. L' "1" posto all'inizio suggerisce di muovere la virgola di una posizione verso destra (più grande è la caratteristica, più grande è il numero che viene rappresentato!) perciò

456.789:12.345 = 37,00197

La reale divisione dà
37,00194

Qui i logaritmi erano accurati alla 6a cifra decimale, e le soluzioni hanno un'accuratezza simile.

    Un terzo impiego dei logaritmi è l'elevazione di un numero ad una potenza (numero non necessariamente intero, concetto sviluppato qui sotto). Questo si ottiene moltiplicando il suo logaritmo per l'indice di quella potenza. Se servisse

(5,32067)3,811

si cercherebbe
log 5,32067 = 0,725966

e lo si moltiplicherebbe per 3,811 , utilizzando i logaritmi o il modo più difficile:

(3,811).(0,725966) = 2,766658

La parte frazionaria è

0,766658 = log 5,843298

e il "2" posto all'inizio indica che la virgola deve essere spostata di due posizioni a destra (rendendo il numero più grande di due potenze di 10), quindi

(5,32067)3,811   =   584,3298

Questo ha senso? Beh... 5,32 è prossimo a 5, mentre 3,811 è vicino a 4, e questi due numeri danno 54 = 625, che è ancora "parente" a 584,3298. Il tasto yx sulla mia calcolatrice dà 584,3293, ma questa concordanza non è una sorpresa, dal momento che la stessa calcolatrice è stata utilizzata per ricavare logaritmi e "antilogaritmi" (il tasto 10x) per il calcolo di cui sopra.

    Così i logaritmi hanno facilitato i calcoli matematici complicati. Oggi le calcolatrici elettroniche fanno tutto ad una semplice pressione di un tasto (spesso ricavando dei logaritmi durante il processo di calcolo e applicandoli, all'insaputa dell'utente). Anche così, il logaritmo di un numero viene fuori spesso in calcoli matematici avanzati e in molte applicazioni.

Alcune brevi note

(1)   La "base" dei logaritmi

L'utente attento ha probabilmente notato che la definizione di logaritmo, ad esempio

2 = 100,3010299...   =   10log 2

contiene il numero "10". A rigor di termini, si tratta di "logaritmi comuni" o "logaritmi in base 10", concepiti per comodità di calcolo con numeri scritti nel sistema decimale. In realtà, i puristi indicheranno la base con un pedice, per es. 0,3010299 ... = log102.

    Possono anche essere scelte altre "basi", e una in particolare ("logaritmi naturali"), presenta i propri vantaggi. Che però presenteremo più tardi, dopo aver introdotto il numero e = 2,71828 .... . Fino ad allora, il termine "log" indicherà sempre un logaritmo in base 10.

(2)   Notazione per la moltiplicazione e le parentesi

Qui di seguito, un punto può denotare la moltiplicazione di numeri o di simboli. Seguendo una convenzione usata praticamente in quasi tutte le applicazioni tecniche, anche questo punto può essere omesso quando due simboli chiaramente diversi stanno fianco a fianco:
    2x significa 2 per x
    ab              a per b
    abc            a per b per c
Comunque ricordate SEMPRE – se esiste più di una possibile interpretazione (o anche solo per rendere le operazioni più chiare), usate le parentesi tonde ( ) o le parentesi quadre [ ], che avvertono l'utente del corretto ordine. Scrivere

3.4 + 5

è ambiguo. La maggior parte delle persone prima moltiplicheranno, quindi aggiungeranno, ottenendo 17, ma qualcuno potrebbe prima sommare, ottenendo 27. Le parentesi chiariscono quale operazione va eseguita per prima:
    (3.4) + 5 = 17
    3.(4 + 5) = 27
Talvolta l'ordine non fa differenza, per es. 3.4.5, ma è sempre più sicuro scrivere le parentesi, anche se non sono assolutamente necessarie. Le parentesi evitano anche che il segno di moltiplicazione possa essere confuso con il punto decimale! (la virgola, in italiano)

(3)   Le calcolatrici

    Come già notato, ricavare i logaritmi può essere un lavoro molto noioso. Fino al 1970 circa, gli studenti, gli ingegneri, i tecnici e gli scienziati hanno usato "tavole logaritmiche" stampate in un manuale, le quali fornivano i logaritmi di numeri compresi tra 1 e 10 con una precisione di 4, 5 o 6 cifre decimali (come si vedrà, i logaritmi di numeri più grandi di 10 o più piccoli di 1 sono semplicemente collegati ad essi). Inoltre, hanno anche imparato a fare una stima dei logaritmi di numeri compresi tra quelli tabulati ("interpolazione"), ottenendo una maggiore precisione. Si possono ancora trovare queste tavole nei manuali.

    Inoltre, si avevano a disposizione tavole di "anti-logaritmi" – dato il logaritmo, la tavola forniva il numero 10x del quale era il logaritmo. Si poteva anche trovare il valore cercando e interpolando le tavole dei logaritmi, ma gli antilogaritmi risparmiavano tempo.

    I chip dei computer hanno reso tutto ciò obsoleto, e ora calcolatrici tascabili poco costose possono non solo aggiungere, sottrarre, moltiplicare e dividere, e trovare anche le radici quadrate, per le quali si insegnava agli studenti una procedura abbastanza noiosa, un pò più complicata di una lunga divisione. Esse possono anche calcolare logaritmi e anti-logaritmi (col tasto funzione 10x), così come seni e coseni (per i quali si usavano anche tavole stampate, in quanto anche calcolare questi è noioso). Essi possono anche elevare le potenze frazionarie yx dove x ed y sono due numeri positivi, interi o frazionari. (Per yx il computer probabilmente calcola prima alcuni logaritmi e poi li usa).

    Si presume che l'utente di queste pagine web abbia una tale calcolatrice.

(4)   Storia

    Storicamente i logaritmi formano anche una sorta di ponte tra l'algebra "classica" nota ai tempi di Galileo (ad esempio, quella di Niccolò Tartaglia, 1500-1557 e Gerolamo Cardano, 1501-1576, che ha sviluppato una soluzione dell'equazione cubica e ne ha dibattuto), e lo sviluppo del calcolo differenziale e integrale da parte di Newton e Leibnitz nella seconda metà del 1600.

   La prima formulazione dei logaritmi fu introdotta nel 1614 da John Napier, un nobile scozzese con un interesse per la matematica. Il suo principale interesse era quello di realizzare un aiuto per il calcolo, il cui approccio fosse in qualche modo intuitivo. I suoi logaritmi erano vicini ai "logaritmi naturali" definiti in seguito, con una leggera differenza a causa del suo metodo. Egli pubblicò un libro sul suo lavoro (in latino) e ciò lo portò all'attenzione di Henry Briggs, un professore di matematica a Londra.

   Briggs si recò in Scozia nel 1615 appositamente per incontrare Napier, e tra i due si sviluppò una forte amicizia. Essi si incontrarono di nuovo nel 1616, ma purtroppo, Napier morì poco dopo.

   Briggs e Napier concepirono insieme il sistema di logaritmi in base 10, e con log 1 = 0, così come si usa oggi. Briggs successivamente ricavò tavole logaritmiche (servendosi del calcolo di radici quadrate) con una precisione di 8 e più tardi anche 14 cifre decimali. Keplero fu un utilizzatore entusiasta dello strumento di recente invenzione, perché accelerò molti dei suoi calcoli, e nel 1620 dedicò una delle sue pubblicazioni a Napier.
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Rapido quiz:

(1) Supponete di avere una calcolatrice del tipo descritto al punto (3). Vi dicono che il logaritmo di un certo numero è 0,4. Come si fa a trovare questo numero?

A. Trovate 100,4 = 2,511886 Questo è il numero che cercate, e

log 2,51186 = 0,4

(2) Con lo stesso metodo, scoprirete che il logaritmo di 5,62341 è 0,7 Allo stesso modo,

    log 56,2341 = 1,7
    log 562,341 = 2,7
    log 5623,41 = 3,7

Cosa si conclude?

A. Si conclude che la parte frazionaria di un logaritmo di un numero dà la sua struttura. La parte intera ci dice solo dove collocare la virgola, come sarà giustificato in seguito.