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(M-16)   Come Ricavare Logaritmi Approssimati


Sommario delle Regole

(1) L' N-esima potenza xN di un numero x è stata originariamente definita come x moltiplicato per se stesso tante volte quanti sono gli N identici fattori. Per mezzo di varie generalizzazioni, la definizione può essere estesa ad ogni valore di N che sia un qualsiasi numero reale.

(2) Il logaritmo (in base 10) di un numero qualsiasi è definito come la potenza N tale che
x = 10N
(3) Le proprietà dei logaritmi:
    (a)     Il logaritmo di un prodotto P.Q è la somma dei logaritmi dei fattori

    log (PQ) = log P + log Q

    (b)     Il logaritmo di un quoziente P / Q è la differenza dei logaritmi dei fattori
    log (P / Q) = log P – log Q

    (c)     Il logaritmo di un numero P elevato alla potenza Q è Q.logP

    log[PQ] = Q.logP

L'utilità dei logaritmi deriva dal fatto che
    (a)     La prima regola permette di convertire un noioso problema di moltiplicazione in uno che richiede solo un'addizione.
    (b)     La seconda regola permette di convertire un noioso problema di divisione in uno che richiede solo una sottrazione.
    (c)     La terza regola permette di calcolare qualsiasi potenza Q di un numero P, anche se Q non è un numero intero.
In tutti questi casi, esprimendo i numeri in notazione scientifica, sono necessari solo i logaritmi di numeri compresi tra 1 e 10, coprendo questi l'intervallo tra 0 e 1.

Per utilizzare tali regole abbiamo bisogno di un metodo per (a) ricavare il logaritmo logQ di qualsiasi numero dato Q, e (b) facendo l'inverso – dato il valore di log Q, trovare il valore di Q.

Fino al 1970 circa, (a) veniva fatto attraverso l'uso di tavole logaritmiche, che davano il risultato fino ad un certo numero di cifre decimali

Interpolazione

Per risalire dal valore del logaritmo al suo numero originario, cerchiamo nella tavola logaritmica le due voci che fiancheggiano il valore che abbiamo, e sottraendo, troviamo di quanto differiscono.
    Supponiamo che alla fine dei calcoli, il logaritmo della risposta sia 0,45678. Sulla tavola logaritmica, troviamo che i due numeri adiacenti sono 0,45673 e 0,45686. La loro differenza, in unità dell'ultima cifra decimale è 13 (86 meno 73) mentre il numero che vogliamo raggiungere dista 5 unità dall'estremo inferiore dell'intervallo (78 meno 73). Il nostro numero è perciò 5/13 della lunghezza dell'intervallo a partire dal suo estremo inferiore. I due numeri di fianco nella tabella suggeriscono che la nostra risposta è compresa tra 2,86240 and 2,86325 , dal momento che
    0,45673 = log 2,86240
    0,45686 = log 2,86325
La differenza è 325 – 240 = 85 nell'ultima cifra decimale, e 5/13 di questa è (85)(5/13) ~ 33, quindi aggiungendo 33 alle ultime cifre del numero più piccolo si ottiene una approssimazione di

           0,45678 ~ log 2,86273

    Questo processo, chiamato interpolazione, è spesso utile nel trovare il valore di una funzione corrispondente a un punto compreso tra due valori tabulati (o rappresentati graficamente).

    Nelle calcolatrici elettroniche di oggi, si preme semplicemente il tasto "log" per ottenere il logaritmo e il tasto "10x " per riottenere il numero originario (può essere usato anche il tasto yx). Potete provarlo con i numeri di cui sopra!

Ultime cose da ricordare:
    I logaritmi sono ricavati solo per numeri positivi. In un calcolo in cui dei numeri negativi sono moltiplicati o elevati ad una potenza, può essere meglio mettere il segno meno da parte temporaneamente, eseguire il calcolo con numeri positivi e quindi capire (dalla natura del calcolo) se il segno meno deve essere ripristinato o omesso.

    Non c'è il logaritmo di zero. Un tale numero – chiamiamolo x – soddisferebbe 10x = 0, e NESSUNA potenza di 10 è uguale a zero. Come mostra una precedente tabella, le quantità decrescenti (0,1), (0,01), (0,001), (0,0001), e così via, hanno dei logaritmi (–1),( –2),( –3),( –4), e via dicendo, che diventano sempre più negativi. Formalmente si potrebbe dire che il logaritmo di zero si trova alla fine di quella sequenza e perciò è uguale a meno infinito – tranne che l' "infinito" manca delle proprietà comuni che ci si aspetta da un numero e perciò non viene considerato come tale.

Come Ricavare Logaritmi Approssimati

       Finora i soli logaritmi che abbiamo sono potenze di 10, ed essi sono tutti uguali a numeri interi di entrambi i segni, o a zero (il log1). Questo è poco utile!

        Di seguito saranno ricavate delle grossolane approssimazioni dei logaritmi. Se pensate di andare avanti nello studio dei logaritmi, sarete ricompensati dal calcolo di valori più accurati nella sezione M-18.

    Ancora una volta: applicazione della Notazione Scientifica dei Numeri

    Come osservato in precedenza, tutto quello che serve sono i logaritmi dei numeri compresi tra 1 e 10, che vanno da 0=log 1 a 1=log 10 (tutti questi numeri, non solo gli interi). Una volta coperto questo intervallo, possono essere trattati anche i numeri al di fuori di esso – essenzialmente, scrivendoli in notazione scientifica (o facendo qualcosa di equivalente). Supponiamo di cercare
log 57.140,87
Usando la notazione scientifica
57.140,87 = 5,714087 104
    Siccome log 104 = 4 , e il logaritmo del prodotto è la somma dei logaritmi dei fattori

    log 57.140,87 = log(5,714087) + log(104) = log(5,714087) + 4

    Avremo così il logaritmo di un numero compreso tra 1 e 10, che diventa uguale a 0,756947 (accuratezza a 6 cifre), e aggiungendo 4 otteniamo
log 57.140,87 = 4,756947

Logaritmi Approssimati per Interi compresi tra 1 e 10

Di seguito è riportato un elenco di potenze di 2, ciascuna il doppio di quella che la precede:
   Indice N della potenza   1     2     3     4     5     6     7    8   9   10 
   2N    2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

210 = 1024, ma qui lasciamo che sia approssimato a 1000 (e tra l'altro, chiamare 1024 byte di memoria di un computer "un kilobyte" comporta una simile approssimazione!). Così se
210 ~ 1000

facendo il logaritmo di ambo i membri
10 log 2 ~ 3
log 2 ~ 0,3

Un valore più preciso è 0,301029995... , quindi questo non è poi così male. Tre ulteriori approssimazioni seguono subito:

4 = 22 così     log 4 = 2 log 2 ~ 0,6
8 = 23 così     log 8 = 3 log 2 ~ 0,9
anche
5 = 10 / 2     così     log 5 = log 10 – log 2   ~   1 – 0,3 = 0,7

A seguire, le potenze di 3 sono 3, 9, 27, 81 ... così 34 = 81. Approssimiamolo con 80

34 ~ 80 = 8 . 10
calcoliamo i logaritmi
4 log 3   ~   log 8 + log 10   ~   0,9 + 1,0 = 1,9
Da ciò
log 3 ~ 0,475
Un valore più accurato è
log 3 = 0,477121254...
ma di nuovo ... non male.
Ciò consente ad altri due logaritmi di essere approssimati

9 = 32         log 9 = 2 log 3 ~ 0,95
6 = 2,3        log 6 = log 2 + log 3 ~ 0,3 + 0,475 ~ 0,775

e infine 74 = 2401 = (3)(8)(100)

Eseguendo i logaritmi ad ambo i membri e usando le nostre approssimazioni

4 log 7   ~  0,475 + 0,9 + 2 = 3,375

log 7 ~ 0,84375
mentre più accuratamente
log 7 = 0,845098...
Di nuovo, non male.

Raccogliendo i risultati

   Intero N    1   2   3   4   5   6   7   8   9   10 
   ~ log N     0    0,3   0,475   0,6   0,7   0,775   0,8375   0,9   0,95   1,0 

Non aspettatevi risultati accurati da espressioni che hanno spesso la profondità di una cifra decimale. Per esempio, qui 3 log5 = 7 log 2, mentre i numeri che essi rappresentano sono 125 e 128. Eppure, cercando di effettuare dei calcoli con questi logaritmi approssimati viene dimostrato il metodo generale.

Esempio:

(1)     Supponiamo di cercare (scelta casuale) x = 532 volte 373. Usando la notazione scientifica

    532 = 5,32 102
    373 = 3,73 102
(2)     Consideriamo di trovare il logaritmo di 5,32 usando la nostra approssimazione: abbiamo i logaritmi di 5 e 6, e ora abbiamo bisogno di trovare un valore intermedio prossimo a log5,32 (questo processo – "
interpolazione"– è stato già descritto. È il metodo abituale per trovare i valori intermedi su una tavola logaritmica accurata, diciamo, alle 5 cifre decimali).

Sulla nostra tabella, la differenza tra log 5 e log 6 è 0,075. Se vogliamo avanzare di 0,32 su quella distanza, ciò porta a (0,32).(0,075) = 0,024 (il fatto fortuito che 0,075 = 3/40 aiuta a calcolarlo!). Così aggiungendo 0,024 al nostro valore (grossolano) log5 = 0,7 si ottiene
    log 5,32 ~ 0,724
Analogamente, la differenza tra log 3 e log 4 sulla nostra tabella approssimata è 0,125. Per ottenere log 3,73 aggiungiamo al log3 la quantità (0,73).(0,125) (ancora, può aiutare il fatto che 0,125 = 1/8) o 0,091, così
    log 3,73 ~ 0,566     (0,475 + 0,091)
La somma dei logaritmi è
log [(5,32)(3,73)]   =   log 5,32 + log 3,73
oppure
0,724 + 0,566   =   1,29

(3)     Ora per trovare il prodotto (5,32).(3,73) : qual è il numero il cui logaritmo è 1,29? Ignoriamo la parte intera, che contribuirà solo alla potenza di 10 nel risultato finale. Nella notazione scientifica, la "parte principale" ha logaritmo uguale alla parte frazionaria 0,29. Che è appena di 1/30 più piccola di 0,3 , la nostra approssimazione al log 2. Quindi ci aspettiamo che tale risultato sia prossimo a 2, moltiplicato per qualche potenza di 10.

Tuttavia, siccome 0,29 è minore di log 2 (approssimazione grossolana) di 1/30 del suo valore, ci aspettiamo che la "parte principale" sia di 1/30 più piccola di 2, il che ci dà 1,967.
A questo bisogna aggiungere qualche potenza di 10. Ora la parte intera del logaritmo prende
    –    2 dal fattore 102 in 532
    –    2 ancora dal fattore 102 in 373
    –    1 ancora dalla parte a sinistra della virgola dopo che i logaritmi sono stati sommati,
            –   per un totale di 5.
Così per la nostra approssimazione, se log x = 5,29

x = 1,967 105= 196.700

Moltiplicando con la calcolatrice, 198.436 . Il risultato di cui sopra è perciò impreciso, proprio come gli strumenti adoperati; ma se i nostri logaritmi fossero stati accurati a 6 o 7 cifre, sarebbe stato ancora seguito un procedimento simile, e avremmo avuto una migliore accuratezza. Quello sarebbe stato il metodo usuale un secolo fa: oggi, i logaritmi non sono più uno strumento di calcolo principale, ma altri usi rimangono.

    Nota: proprio come la moltiplicazione e la divisione sono opposte, o l'addizione e la sottrazione, così "eseguire un logaritmo" può talvolta essere visto come l'opposto della "elevazione a potenza". Se si traccia un grafico di y = 10x e lo si gira intorno alla linea diagonale y=x che passa per l'origine, il grafico che si ottiene assomiglia al grafico (in un regolare sistema di assi x-y) di y = log10 x, il genere di logaritmi ("in base 10") di cui ci occuperemo sotto.

Scrittura dei Logaritmi dei Numeri minori di 1

    Com'è noto, i logaritmi di numeri con le stesse cifre, ma diversa posizione della virgola, differiscono solo per le cifre che costituiscono il numero intero. Supponiamo di usare l'approssimazione a 5 cifre decimali
log 2 = 0,30103
Allora
log 2000 = log 2 103 = 3 + 0,30103 = 3,30103
log 200   = log 2 102 = 2 + 0,30103 = 2,30103
Ma che dire di
log 0,2   = log 2 10–1 = –1 + 0,30103 = –0,69897
log 0,002   = log 2 10–3 = –3 + 0,30103 = –2,69897

Qui il collegamento intuitivo con log 2 si è improvvisamente perso, dal momento che la parte decimale ora è diversa!
Esistono diversi metodi per mantenere quel collegamento. Alcune persone scrivono

log 0,2   = –1 + 0,30103
altre
log 0,2   = 0,30103 – 1

ed altre ancora scrivono 1,30103 ma poi mettono il segno meno sopra l' "1" per mostrare che si tratta di una quantità negativa (il che va bene quando lo si scrive "a mano", ma diventa più difficile usando la tastiera). Scegliete quello che preferite, ma sappiate che regole leggermente diverse si applicano ai numeri al di sotto di 1!

Il Regolo Calcolatore

Il regolo calcolatore è un dispositivo di calcolo basato sui logaritmi ed ampiamente utilizzato dagli ingegneri prima che venissero introdotte le calcolatrici tascabili (alcuni studenti lo portavano perfino con sé in una guaina appesa alla cintura, un pò come una piccola spada!).

    Il componente di base del regolo calcolatore è il regolo logaritmico. Questo un righello contrassegnato con numeri che vanno da 0 a 1 (a cui si aggiungono divisioni più fini, tipicamente fino alla terza cifra decimale), ma suddivisi in modo disuguale, in modo che la distanza di ogni suddivisione dall'estremo "0" sia proporzionale al suo logaritmo.

    Due aste graduate di questo tipo erano disposte fianco a fianco, con una in grado di scorrere lungo l'altra. In realtà, l'asta scorrevole era abitualmente montata su una scanalatura nel mezzo del regolo. Un terzo componente essenziale era il cursore, un dispositivo di scorrimento trasparente in grado di slittare su e giù per l'insieme delle due aste logaritmiche, con una linea di riferimento perpendicolare ad esse. La sua funzione era quella di contrassegnare una posizione sul regolo.

    Supponiamo di voler moltiplicare due numeri A e B compresi tra 1 e 10. Invece di sommare i loro logaritmi su carta e quindi trovare l' "antilogaritmo" della somma, qui sommiamo le lunghezze di due sezioni della scala, quindi ritorniamo alla scala originaria per trovare a quale numero corrisponde la lunghezza combinata.

    Ad esempio, supponiamo di moltiplicare 3 per 2. Sulla scala fissa, troviamo "3" e posizioniamo il cursore sulla tacca corrispondente. Il modo in cui è costruito il regolo rende la distanza del cursore dalla tacca di inizio, proporzionale a log 3.

Quindi facciamo scorrere la scala mobile finché la sua tacca di inizio non si trovi esattamente sotto il cursore.

    Poi muoviamo il cursore (e i regoli calcolatori sono fatti in modo che tale movimento non disturbi la posizione dell'asta mobile – una volta che questa sia stata messa in una posizione, rimane lì). Spostiamolo al di sopra del numero 2 posto sull'asta mobile.

    La distanza del cursore dall'estremità dell'asta mobile rappresenta log 2, e la sua distanza dall'estremità dell'asta fissa è ora (log2 + log3). Controlliamo il numero sull'asta fissa sotto la nuova posizione del cursore: quello è il prodotto! (E calcolare 3,45 per 2,34 è altrettanto veloce).

        Per ulteriori istruzioni, si veda:

               http://en.wikipedia.org/wiki/Slide_rule (versione inglese), oppure
               http://it.wikipedia.org/wiki/Regolo_calcolatore (versione italiana)

    Naturalmente, alcune operazioni sembrano richiedere di posizionare il cursore oltre la fine della scala. Supponiamo di moltiplicare 3 per 4: seguendo la procedura di cui sopra, troverete che "4" sull'asta graduata mobile si trova sulla sezione che si estende oltre la fine, che il cursore non può raggiungere. In tal caso, non mettete l'inizio dell'asta mobile sotto il cursore, ma la sua estremità finale. Spostando il cursore per coprire "4", ora troverete che segna "1,2" sulla scala fissa. Naturalmente, dovrete sistemare la virgola, ma ancora, moltiplicando 3,98 per 4,32 è altrettando veloce.

    Questo è appena l'inizio. Per dividere, si usa il cursore per sottrarre le lunghezze, e la maggior parte dei regoli hanno diverse scale, su entrambi i lati. Il regolo calcolatore nelle immagini sopra presenta delle divisioni 1-10 su un lato della scala e 1-100 (due scale di 1-10, grandi la metà) sull'altro lato. L'uso della scala 1-100 aiuta a svolgere le moltiplicazioni come 3 per 4 senza cambiare lati – ma siccome la scala è più piccola, anche l'accuratezza è ridotta.

    Inoltre, la divisione di "9" sulla scala 1-100 corrisponde a "3" sulla scala 1-10. Così mettendo il cursore su x sulla scala 1-10 e quindi cercando il numero corrispondente su 1-100 si ottiene x2, sebbene la potenza di 10 nella notazione scientifica richieda di essere calcolata o ipotizzata. Analogamente, andando in direzione opposta si ottiene la radice quadrata √x o x0,5. Qui, tuttavia, serve cautela nell'aplicare la notazione scientifica. Mettere il cursore su 3 (sulla scala 1-100) aiuta a ricavare le radici quadrate di numeri con un numero pari di cifre decimali – 3, 300, 30.000, 3.000.000 e così via, anche 0,03 , 0,0003 etc. . Metterlo su 30 aiuta a ricavare le radici quadrate dei numeri con un numero dispari di decimali – 30, 3.000, 300.000 ed anche 0,3 , 0,003 etc.

    Esistono delle varianti – scale circolari, per esempio. Si possono comprare ancora oggi dei regoli calcolatori su internet, sebbene siano probabilmente di seconda mano.

I Logaritmi in Natura

Solo qualche esempio può essere dato.

(1)     Le magnitudini delle stelle furono definite la prima volta da Ipparco, che realizzò una mappa dei cieli dell'antica Grecia. Alle stelle più luminose fu assegnata magnitudine "1", il livello successivo era "2", fino a stelle di magnitudine "6" appena al limite della visibilità, con una vista buona in una notte limpida. Si trattò di una classificazione piuttosto soggettiva. Oggi gli astronomi possono misurare elettronicamente la luce L emessa dalle stelle, e in questo modo (tenendo conto delle variazioni di colore!) essi hanno riassegnato la "magnitudine stellare" M per adattarla approssimativamente ai valori di Ipparco. La formula (dovuta a Pogson, 1856) è

M = costante – 2,512 log L

Più è luminosa la stella, più è grande L e piccola la magnitudine (le unità in cui L viene misurata non importano – esse cambiano solo la costante). Si è scoperto che con questa formula, le stelle più luminose hanno spinto la scala oltre 1 verso delle frazioni ed anche valori negativi: Sirio ha magnitudine –1,5 , Giove può raggiungere i –2,8 e Venere all'apice della sua luminosità è –4,4.

All'altro estremo, lunghi tempi di esposizione su grandi telescopi (si veda l'immagine ad "ampia profondità di campo" del telescopio spaziale Hubble) hanno mappato magnitudini fino a +30.

(2)     La legge di Weber-Fechner, una legge sperimentale del XIX secolo, afferma che i sensi umani reagiscono in maniera logaritmica. Se R è ciò che sentiamo ed S è lo stimolo

R = costante + A log S

Da allora la legge è stata modificata, ma rimane ancora una indicazione di massima. Ad esempio, l'intesità del suono viene misurata in un'unità chiamata bel (in onore di Alexander Graham Bell) e anche se un suono di 5 bel sembra appena una "tacca" più forte di 4 bel, in realtà trasporta 10 volte l'energia. E un decimo di bel è naturalmente un decibel, un termine più diffuso.

(3)     La scala Richter dei terremoti misura il logaritmo dell'energia rilasciata. Un terremoto che fa registrare 8,2 sulla scala Richter rilascia 10 volte più energia di uno di 7,2.

(4)     La velocità raggiunta da un razzo (trascurando lo staging ovvero la fase di rilascio degli stadi non più necessari alla propulsione, etc.) aumenta solo col logaritmo della massa del combustibile. Questo viene dimostrato in modo empirico alla fine della sezione sui razzi ("Il Moto di un Razzo"). È la crescita lenta del logaritmo che rende i lanci ad alta velocità difficili e costosi!

Rapido quiz

    – Dati i valori approssimati trovati prima, quanto valgono i logaritmi approssimati di 20, 200, 0,16 , 2007 (approssimate 223 a 224), 0,125?
    – Se la costante π (=3,14...) viene approssimata alla radice quadrata di 10 (3,16...), qual è il valore approssimato del suo logaritmo?
    – Cerchiamo il log 460. Se log 4 = 0,6 , log 5 = 0,7 , quanto vale approssimativamente log 460?
    – Un terremoto di magnitudo 5,6 ha scosso il nord di San Jose in California, ad Halloween 2007. Quante volte più energia rispetto alla magnitudine 5? Usiamo i nostri logaritmi approssimati.
    – La cometa Holmes è una vecchia cometa non molto luminosa, che si spinge appena oltre l'orbita di Giove ed è conosciuta sin dal XIX secolo. Veniva usualmente associata alla magnitudine 17-esima, ma nell'Ottobre 2007 improvvisamente si illuminò fino a raggiungere la 3a magnitudine (la causa è ancora da stabilire). Quante volte è diventata più luminosa?
(Si veda anche qui, qui, qui e qui.   E avete ottenuto un'illuminazione di 375.000 volte?)


Qui finisce la breve introduzione ai comuni logaritmi e ad alcuni dei loro usi. Se tutto ciò che volevate era una conoscenza di base, potete fermarvi qui; tuttavia alcuni aspetti più avanzati sono coperti nelle sezioni seguenti.