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Qui inizia un ampliamento facoltativo delle sezioni sui logaritmi. Il suo punto di partenza sembra del tutto scorrelato – ossia l'interesse pagato sul denaro depositato in una banca. Si parte con una discussione molto elementare sull'interesse, e gli utenti che hanno dimestichezza con questo argomento possono saltare rapidamente questa parte. Tuttavia siatene certi – un collegamento con i logaritmi apparirà presto!
Interesse e Tecnica Bancaria – una Introduzione Molto ElementareLa maggior parte delle persone hanno familiarità con l'interesse, la somma di denaro in più corrisposta dai mutuatari per utilizzare temporaneamente i soldi degli altri.Supponete di voler acquistare un articolo costoso – auto, casa, impresa, macchine agricole – ma di non poter pagare subito il prezzo pieno. Allora prendete in prestito quello che vi serve da una banca, e gradualmente lo restituite, aggiungendo un piccolo extra a titolo di interesse, in cambio del privilegio del prestito ricevuto. L'interesse viene tradizionalmente misurato in percentuale o in per cento, centesimi dell'importo preso in prestito, indicato anche con il simbolo %. Se il tasso di interesse è, diciamo, 10 dollari all'anno per ogni 100 dollari presi in prestito, il vostro interesse è del "10 per cento" o 10% ("per cent" significa "per ogni cento"). Le banche di solito prestano soldi solo per una parte del costo del bene acquistato – perché poi, se il mutuatario non è in grado di pagare ("fallisce"), esse possono legalmente "rientrare in possesso" del bene, e avendo pagato solo una parte del suo costo, non soffrono di alcuna perdita. Poiché di solito è necessario dare un "acconto" prima di avere un prestito, c'è bisogno di risparmiare. Dopo aver messo i soldi da parte per tali risparmi, la gente spesso li presta ad una banca. La banca pagherà un interesse più basso – diciamo, solo il 6% – mentre utilizza lo stesso denaro per prestarlo ad un tasso più elevato, come ad esempio il 10%. In questo modo la banca realizza un profitto e copre le proprie spese; ma è sempre meglio prestare denaro a un tasso più basso e ricavare un profitto di $6 per ogni $100 – meglio che non realizzare affatto alcun profitto. Interesse Semplice e Interesse Composto(Di seguito, dopo il segno ***, dovreste usare una calcolatrice dotata di un tasto yx)Supponete di prestare alla banca $1000 al 6% di interesse. La cifra che prestate è conosciuta come "il capitale". Dopo un anno avrete guadagnato $60 e quindi avrete $1060 Dopo 2 anni, avrete guadagnato altri $60 e quindi avrete $1120 Dopo 2 anni, avrete guadagnato altri $60 e quindi avrete $1180 Dopo 2 anni, avrete guadagnato altri $60 e quindi avrete $1240 (Per risparmiare per un acquisto costoso, la maggior parte delle persone, naturalmente, metterebbe da parte $1000 ogni anno e accumulerebbe denaro molto più velocemente. In questo calcolo, tuttavia, ci concentreremo solo sui primi $1000) Si può effettivamente fare di meglio! I $60 guadagnati il primo anno possono essere aggiunti al "capitale", in modo che il secondo anno anch'essi guadagnino interessi. Infatti, ogni anno potete aggiungere i profitti al capitale, e guadagnare di più. Questo cambia le regole. Finora, quello che avete guadagnato ogni anno erano $60, il sei per cento della somma investita in origine. Questo si chiama "interesse semplice." L'importo che avrete alla fine dell'anno è di soli $60 in più. Ora, la somma che avrete alla fine dell'anno (supponendo di non aver prelevato niente) è 1,06 volte quanto avevate all'inizio dell'anno. Questo si chiama interesse composto, capitalizzato alla fine di ogni anno. Calcoliamo quanto avrete alla fine di ogni anno. Supponiamo che abbiate iniziato con x dollari. Con l'interesse semplice Dopo 1 anno 1,06 x Dopo 2 anni 1,12 x Dopo 3 anni 1,18 x Dopo 4 anni 1,24 x Con l'interesse composto come descritto sopra, con una precisione di 4 cifre decimali
Quindi sì, state aumentando il vostro profitto, anche se l'incremento è piuttosto moderato. Otterrete ancora di più se aggiungerete gli interessi maturati sul capitale non alla fine di ogni anno, ma alla fine di ogni semestre. Gli interessi maturati ogni sei mesi sono solo il 3%, ma il numero dei "periodi di capitalizzazione" è raddoppiato – due per semestre. Vediamo cosa si ottiene da un importo originario di x dollari (facendo i calcoli con una precisione di 5 decimali)
E così via Ma perché aspettare sei mesi? Si possono benissimo aggiungere i soldi mensilmente, dando per scontato che tutti i mesi sono uguali e ciascuno matura lo 0,5% di interesse. (*** è meglio avere un tasto yx per i prossimi passi, sebbene si possano ottenere gli stessi risultati anche senza. Essi sono dati con una precisione di 6 decimali). Dopo 1 anno – 12 periodi, 0,5% ciascuno – avrete (1,005)12 x = 1,061678 x Dopo 2 anni – 24 periodi, 0,5% ciascuno – avrete (1,005)24 x = 1,127159 x Dopo 3 anni – 36 periodi, 0,5% ciascuno – avrete (1,005)36 x = 1,196680 x Dopo 4 anni – 48 periodi, 0,5% ciascuno – avrete (1,005)48 x = 1,279489 x È istruttivo confrontare l'importo totale dopo, diciamo, 4 anni:
Quindi sì, otterrete di più ogni volta. Potreste ottenere ancora di più se faceste il composto ogni giorno (come alcune banche hanno sfacciatamente promesso) ma il numero sembra tendere gradualmente verso un limite oltre il quale non si può andare. Non diventerete mai ricchi in questo modo! Nella prossima sezione cercheremo di ricavare tale limite. Tenetevi pronti per un pò di algebra! Il LimiteSupponete di prestare x dollari, ad una percentuale del p per cento (era 6 nell'esempio di prima). Dopo un anno si avràDividiamo l'anno in N parti uguali, ciascuna delle quali matura un interesse di p/N. Dopo ciascuno di tali periodi, il denaro che è stato investito cresce di un fattore Esistono N di questi periodi nell'anno, così dopo un anno, il nostro investimento è cresciuto di un fattore Dividendo e moltiplicando la potenza N per uno stesso numero essa non cambia – è come moltiplicare per (Q/Q)=1 (qualunque sia Q). Quindi se Q=p/100 Se semplificate le frazioni, tornerete indietro a dove siamo partiti. Tuttavia, invece di fare ciò, introduciamo una nuova quantità variabile y: sia e ricordando che una potenza elevata ad un'altra è come elevare a potenza il prodotto di entrambi gli esponenti Il motivo per l'introduzione della nuova variabile y è di mettere al centro della nostra espressione la quantità piuttosto interessante: (elevata alla potenza p/100). Di nuovo, per la (4) y è definita come Se l'interesse viene capitalizzato ogni seconda parte dell'anno, N è un po maggiore di 31 milioni. Supponiamo che N, il numero di periodi di capitalizzazione, cresca senza limiti, e che così, di conseguenza, faccia y. Quindi (7) diventa una espressione un pò strana! Da un lato, l'espressione che stiamo elevando alla potenza y-esima è (1 + 1/y), molto vicina a 1, e sappiamo che ogni potenza di 1 è ancora 1 – non importa quante volte si moltiplica 1 per se stesso, il risultato rimane lo stesso. D'altra parte, una grande potenza y di un numero maggiore di 1 (appena appena maggiore) crescerà senza limite. Quale caso è questo? Proviamo con la calcolatrice, e supponiamo che disponga di tasti per entrambi (1/x) e x2. Possiamo quindi facilmente ricavare l'espressione (7) per valori di y che sono potenze di 2: (1 + 1/2) 2 = 2,25 (inserite 0,5 , aggiungete 1, premete il tasto di elevazione al quadrato) (1 + 1/4) 4 = 2,441406... (inserite 0,5, premete il tasto di elevazione al quadrato, aggiungete 1, premete il tasto x2 ancora 2 volte) (1 + 1/16) 16 = 2,6379284... (inserite 0,5, premete il tasto di elevazione al quadrato 2 volte, aggiungete 1, premete il tasto x2 4 volte) (1 + 1/256) 256 = 2,7129916... (inserite 0,5, premete il tasto di elevazione al quadrato 3 volte, aggiungete 1, premete il tasto x2 8 volte, dal momento che 256 = 28) (1+ 1/65536) 65536 = 2,71826039... (inserite 0,5, premete il tasto di elevazione al quadrato 4 volte, aggiungete 1, premete il tasto x2 16 volte, dal momento che 65536 = 216) Potete vedere che il risultato si avvicina ad un limite che non è nè zero nè infinito, ma un numero compreso tra 2 e 3. I matematici lo indicano con la lettera e. E il fattore limitante oltre il quale l'interesse composto con percentuale p non può salire, indipendentemente da quanto spesso il composto venga calcolato, per la (6) è Processi che sono composti naturalmente – per esempio, il numero di batteri (o di altre creature viventi) data una scorta illimitata di cibo, o il numero di neutroni in una reazione a catena incontrollata – tutti questi "crescono esponenzialmente" secondo una legge come quella vista sopra. Molte proprietà di e richiedono dei calcoli, o una estesa definizione di numeri inclusa la radice quadrata di (–1), anche indicata con i. Per esempio se il simbolo N! ("fattoriale di N") definisce il prodotto di numeri interi fino ad N 1! = 1 2! = 1.2 = 2 3! = 1.2.3 = 6 4! = 24 5! = 120 etc. e così via, può essere mostrato che e poiché N! cresce in modo estramente rapido con valori crescenti di N, si ottengono ben presto valori abbastanza accurati di e. Inoltre, il numero e è anche "la base dei logaritmi naturali." Il che, tuttavia, è la storia della prossima sezione. Ulteriori approfondimentiAvete visto cometende al limite e = 2,71828... via via che y diventa più grande. Che dire di – tende anch'esso ad un limite? In effetti, si. Con la vostra calcolatrice potete ricavare le approssimazioni ad esso, come è stato fatto con e. Se la vostra calcolatrice ha il tasto di inversione del segno "+/–" potete usare gli stessi passi di prima, tranne che prima di aggiungere "1", cambierete il segno della potenza di 0,5 grazie a quel tasto. Quindi, la domanda ovvia – come è correlato quel limite ad "e"? Cercate di scoprirlo da soli! |
Autore e Curatore: Dr. David P. Stern
Ci si può rivolgere al Dr. Stern per posta elettronica (in inglese, per favore!):
stargaze("chiocciola")phy6.org
Traduzione in lingua italiana di Pietro Sauro
Aggiornato al 10 Ottobre 2007