(M-12) Esercizi di Trigonometria

Le sezioni (M 6-11) vi hanno dato alcuni principi di trigonometria. Questa sezione vi può dare la pratica nell'applicarli. In alcuni casi le soluzioni vi vengono date, ma non guardatele finché non avete fatto uno sforzo deciso per trovarle da soli

Abbiamo cercato di evitare esercizi ripetitivi: ogni gruppo è diverso. Fateli tutti – nessuno escluso! Si presuppone che abbiate a disposizione una calcolatrice che può calcolare i seni e i coseni, e abbia anche le funzioni sen^-1 e cos^-1 che dati senA o cosA consentono di trovare l'angolo A, nell'intervallo da 0 a 180 gradi.

In ciascun caso, usate il teorema di Pitagora per trovare il terzo lato e poi per trovare il seno e il coseno degli angoli A e B.

State viaggiando in salita su una strada e vedete un segnale che indica che c'è una pendenza del 5%, cioè si sale di 5 metri per ogni 100 metri di strada. Quanto vale l'angolo tra la strada e la direzione orizzontale?
Un aeroplano sta volando a 170 km/s verso nord-est, in una direzione che forma un angolo di 52° con la direzione est.
Il vento sta soffiando a 30 km/s verso nord-ovest, formando un angolo di 20° con la direzione nord. Qual è l'effettiva "velocità al suolo" dell'aeroplano, e qual è l'angolo A tra l'attuale percorso dell'aereo e la direzione est?

(La soluzione segue sotto: leggetela solo dopo aver lavorato voi stessi sul problema. Gli insegnanti in classe possono sostituire diversi numeri e direzioni)

Indichiamo con V il vettore velocità dell'aeroplano rispetto all'aria, con W quello del vento (Wind in inglese) rispetto al suolo, e con U=V+W la velocità dell'aeroplano rispetto al suolo, dove la somma è uno dei vettori. Disegnate un diagramma con le velocità e gli angoli dati, etichettati appropriatamente.

Per eseguire l'effettiva somma ogni vettore deve essere scomposto nei suoi componenti. Abbiamo

V_x = 170 cos(52°) = 104,6 V_y = 170 sen(52°) = 133,96

W_x = –30 sen(20°) = –10,26 W_y = 30 cos(20°) = 28,19

Sommiamo:

U_x = 94,4 U_y = 162,15

Da Pitagora, siccome

U² = U_x² + U_y², U= 187,63 km/hr

Perciò

cos A = U_x /U = 0,503125

Usando il tasto cos^–1 A = 59,8°

In un triangolo ABC, chiamiamo gli angoli (A,B,C) come i loro spigoli ("vertici", al singolare vertice), e chiamiamo i lati (a,b,c), in modo che il lato a sia opposto all'angolo A, b sia opposto all'angolo B, e c sia opposto all'angolo C. Dimostriamo il "teorema dei seni"

sinA/a = sinB/b
Suggerimento: Da C disegnate una linea CD perpendicolare al lato c. La linea CD è un'altezza del triangolo e perciò verrà indicata con la lettera h. Usate h nella vostra dimostrazione.
Prima di affrontare il prossimo problema, si osservino due punti:

Se nella dimostrazione di cui sopra avessimo usato una "altezza" perpendicolare da A o B, piuttosto che da C, avremmo avuto una relazione del tipo

senA/a = senC/c
Perciò il "teorema dei seni" è completamente simmetrico:

senA/a = senB/b = senC/c
La somma degli angoli di un triangolo è sempre 180 gradi. Una dimostrazione rigorosa richiede un pò di lavoro, ma l'affermazione può essere resa plausibile dal seguente ragionamento. Nel triangolo ABC, disegnate una linea che passi per C e sia parallela ad AB. Ciò crea due angoli aggiuntivi, A' e B'.
La somma dei tre angoli (A',C,B') è uguale a 180 gradi, perché essi sono adiacenti tra loro e hanno alle spalle una retta. Tuttavia, per le proprietà delle linee parallele, gli angoli (A,A') sono uguali, come lo sono (B,B'). Perciò la somma di (A,C,B) è anch'essa di 180 gradi.

Il problema: Nel triangolo ABC, la linea AB si trova lungo un argine rettilineo. Misuriamo la distanza c = AB di 118 metri, e gli angoli A e B sono 63° e 55° . Qual è la distanza b = AC?

Non leggete oltre finché non avete cercato di risolverlo. Gli insegnanti in classe possono sostituire diversi numeri e direzioni.

Siccome la somma di tutti gli angoli è di 180 gradi, l'angolo C deve essere uguale a 62°. Quindi per il teorema dei seni

118/sen(62°) = b/sen(55°)

Si moltiplichino entrambi i membri per sen(55) per ottenere la lunghezza b = AC.

Un'ulteriore domanda: quanto vale la distanza perpendicolare da C alla linea c = AB? (suggerimento: è uguale all'altezza h nella risoluzione del problema (4)).

(dopo la sezione M-10) Trovare il seno e il coseno di

(1) 145° (2) 210° (3) 300°
(a) Quando un raggio di luce colpisce la superficie di un pezzo di vetro piatto, viene generalmente deviato di un certo angolo. Si disegni una linea perpendicolare al punto sulla superficie dove entra il raggio. Allora, se il raggio raggiunge la superficie lungo un percorso che forma un angolo A con la superficie, esso continua all'interno del vetro con un' angolazione che forma un angolo B, dove
(b) la stessa regola vale quando la luce lascia il vetro, tranne che ora l'angolo B (nel vetro) è dato e l'angolo A (nell'aria) deve essere trovato. Allora usiamo

sen A = n senB
se questa formula per qualche motivo non viene verificata, il raggio non può lasciare il vetro ma viene riflesso all'indietro nel vetro dalla superficie di confine, come da uno specchio ("riflessione interna totale")

Il problema: Dato B = 0, 20, 90, 60, 80 – quanto valgono gli angoli A? C'è qualche raggio che non riesce a lasciare il vetro?

colore della luce

In un sistema di coordinate cartesiane il punto P ha coordinate (x,y), e come mostrato nel disegno, x = OA, y = PA.
Un secondo sistema con la stessa origine O ha gli assi (x',y') ottenuti ruotando gli assi (x,y) in senso orario di un angolo α. Nello stesso disegno, le nuove coordinate di P sono x' = OB y' = PB.
Utilizzando i punti ausiliari (C,D,E) e le linee ausiliarie AE e AD, esprimiamo x' e y' in funzione di x, y, senα e cosα.
Suggerimento (seguite questo passo dopo passo nel disegno). I due triangoli CBO e CPA sono rettangoli, e siccome la somma degli angoli in un triangolo rettangolo è 180°, la somma dei due angoli acuti in ciascuno di essi è 90°. Di quegli angoli acuti, i due che si incontrano in C sono uguali, e perciò gli altri due devono anch'essi essere uguali.
Di quegli altri angoli AOB è uguale ad α. Perciò l'angolo APC è anch'esso uguale ad α, come indicato. Cercate di risolvere il problema prima di continuare.

Soluzione

Ricordate: in un triangolo rettangolo con un angolo α, se si moltiplica il lato lungo (o ipotenusa)

per cosα, si ottiene il lato adiacente ad α
per senα, si ottiene il lato opposto ad α

Questo suggerisce di prestare una speciale attenzione ai triangoli rettangoli i cui lati lunghi sono x e y, cioè i triangoli OAD e PAE. Se possibile, cercheremo di esprimere x' e y' in funzione dei lati di quei triangoli.

x' = OB = OD–BD = OD–AE = OA cosα – AP senα = x cosα – y senα

y' =BP = BE+EP = AD+EP = OA senα + AP cosα = x senα + y cosa

Riscriviamo il risultato finale:

x' = x cosα – y sinα

y' = x sinα + y cosα

Esercizio di Algebra: utilizzando le due relazioni di cui sopra, sapete esprimere (x,y) in funzione di (x',y')?
Dovete usare sen²α + cos²α = 1.
Mostrate anche che il risultato è consistente con la prima formula, se scambiamo i ruoli di (x,y) e (x'y') e sostituite l'angolo di rotazione con (– α).

Ciò sarebbe anche in accordo con la figura, in quanto (x,y) sono ottenute ruotando (x',y') in senso antiorario di un angolo α, che può essere visto come una rotazione in senso orario di un angolo (– α).

Cliccate qui per una ulteriore discussione di questo risultato, specialmente per quelli che hanno studiato la sezione #12A "Come Vengono Calcolate le Orbite."

Quanto è lunga la linea della latitudine L se la Terra è una sfera e la distanza equatore-polo è 10.000 km? Quanto è lungo un grado di longitudine alla latitudine L?
La formula vale anche per la latitudine meridionale?
(a) Se cos X = 2 senX, quanto vale sen X? Quanto vale l'angolo X?
(b) Questa è l'unica soluzione?
Suggerimenti:
(a) Usate cos²X = 4 sen²X
(b) Siccome lavoriamo con un'equazione che contiene solo quadrati, ogni sua soluzione porta solo a sen²X e cos²X. Tuttavia, la condizione originale richiede anche che cos X and sen X abbiano lo stesso segno algebrico.

Sezione di trigonometria finale: La Tangente

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Autore e Curatore: Dr. David P. Stern
Ci si può rivolgere al Dr. Stern per posta elettronica (in inglese, per favore!):
stargaze("chiocciola")phy6.org

Traduzione in lingua italiana di Pietro Sauro

Aggiornato al 25 Novembre 2001