(M-5) Calculs par approximations

Un calcul préliminaire

On peut multiplier ou diviser le haut et le bas ("numérateur et dénominateur") d'une fraction a/b par un même nombre c:

(a/b) = (ac)/(bc)

où (vous vous en souvenez ?) ac sont deux lettres qui se multiplient ( "a fois c" ) et pour bc pareillement.

Ce résultat est possible parce que (c/c) = 1, pour toute valeur de c (excepté naturellement zéro : "Thou Shalt not Divide by Zero" ( "Tu ne dois pas diviser par zéro" ) et que multiplier n'importe quel nombre par 1 ne change pas sa valeur. la règle de multiplication des fractions est de multiplier le haut avec le haut, le bas avec le bas ; nous obtenons donc :

(a/b) (c/c) = (ac)/(bc)

De même on peut diviser haut et bas par le même nombre d

(a/b) = [a/d]/ [b/d]

cela revient au même que précédemment, si nous prenons c égal à 1/d.

Travailler avec de petites quantités

Certaines équations, identités ou formules représentent de petites quantités, et peuvent être simplifiées et rendues beaucoup plus commodes en sacrifiant une peu d'exactitude. En fait, certaines équations sont dépourvues de solution simple (comme l'équation de Kepler dans la section (12a) et satisfont à ces approximations , très suffisantes dans la plupart des cas, et même alors susceptibles d'être améliorées.

Ces calculs relèvent souvent de l'observation suivante : Les chiffres supérieurs à l'unité ont des carrés, des puissances 3èmes ou 4ème etc. toujours beaucoup plus grands que 1, alors que pour des nombres inférieurs à l'unité, les résultats sont toujours plus petits. Par exemple :

Puissance	supérieure à 1	Inférieure à 1
nombre	10	0.1
carré	100	0.01
puissance 3	1000	0.001
puissance 4	10,000	0.0001

Cela vaut également pour les nombres négatifs, si on s'en tient à la valeur absolue (la valeur sans signe) pour "plus grand" et "plus petit" .

Puissance	supérieure à 1	Inférieure à 1
nombre	–10	–0.1
carré	100	0.01
puissance 3	–1000	–0.001
puissance 4	10,000	0.0001
puissance 5	–100,000	–0.00001

Appelons z un nombre beaucoup plus petit que 1 (ce qui s'écrit z << 1, ou en valeur absolue |z| << 1). Et selon l'identité de la section section M-4

(1 – z)(1 + z) = 1 – z²

Puisque z² est beaucoup plus petit que 1 ou z, nous pouvons écrire, en utilisant " ~ " symbole pour "approximativement égal"

(1 – z)(1 + z) ~ 1

et en divisant les deux côtés par (1 –z)

(1+z) ~ 1/(1–z)

(Beaucoup de textes n'utilisent pas seul le symbole ~ de façon isolée mais le place au-dessus d'un signe égal ; cependant, cette combinaison n'est pas disponible pour le web). Par exemple (contrôlez avec votre calculatrice)

Alors 1/(1–z) = 1/0.99 = 1.010101...

ce qui est suffisamment proche de (1+z) dans de nombreux cas.

Donc, la règle de base est : Les petites quantités comme z, z², z³ etc. sont négligeables si elles sont ajoutées (ou soustraites) à un chiffre beaucoup plus grand. Par contre, il n'est pas possible de ne que les multiplier ou diviser parce qu'en les négligeant on ne laisserait plus rien de l'expression les contenant.

z peut être ici positif ou négatif. Si nous écrivons z = –y, où y où y est un petit nombre de signe opposé, nous obtenons

(1–y) ~ 1/(1+y)

ce qui est un autre résultat utile, valable pour tout petit nombre. Si ce petit nombre est à nouveau renommé z (pas le même z qu'avant, naturellement), nous obtenons

(1–z) ~ 1/(1+z)

qui peut également être obtenu à partir de l'équation précédente :

(1 – z)(1 + z) ~ 1

en divisant les deux côtés par (1 + z).

Dans la section (34a) : calcul de la distance du point de Lagrange L1 , il s'avère nécessaire de faire une approximation sur 1/[1–z]³. Il faut partir de (1+z) ~ 1/(1–z) et élever les deux côtés à la 3èmes puissances :

(1+z)³ ~ 1/(1–z)³

effectuons la multiplication du côté gauche :

(1 + z)³ = (1+z)(1+z)(1+z) = (1 + 3z + 3z² + z³)

Cependant, puisque z² et z³ sont beaucoup plus petits que z, on peut les abandonner avec une très petite erreur :

1/(1–z)³ ~ 1 + 3z
La prochaine section est facultative.

Un pas de plus : Le Théorème Binomial

(1–z) à la puissance -3 se formule 1/(1–z)³ . Cela veut dire d'une façon plus générale, que pour un petit z et n'importe quelle valeur dea

(1–z)^a ~ 1 – az 1/(1– z)^a ~ 1 + az

et de la même façon :

(1 + z)^a ~ 1 + az 1/(1 + z)^a ~ 1 – az

(c'est la même formule, pour z). positif ou négatif). C'est vrai si a est positif, négatif ou fractionnaire. Cela a d'abord été prouvé par Newton, dans son théorème dit " théorème binomial ". Pour ceux que cela intéresse, voici le développement de cette formule

1/(1 + z)^a = 1 + az + [a(a-1)/2] z² + [a(a-1)(a-2)/6] z³ + ...

où le dénominateur de la fraction précédant chaque puissance zⁿ est obtenu en multipliant sucessivement tous les nombres entiers (1.2.3... n ), un nombre généralement noté n! et appelé " factorielle n."
Si a est un nombre entier positif, la séquence a, (a-1), (a-2)... tends finalement vers zéro, et au bout du compte le terme qui en résulte tends lui même vers zéro, de même que tout son contenu puisqu'il y a un multiplicateur ("facteur") zéro. La série des puissances de z se termine avec z^a ce qui conduit à des formules comme celle calculée plus haut pour a=3:

(1 + z)³ = (1 + 3z + 3z² + z³)

Ces cas du théorème binomial étaient en fait connus avant Newton. Il a surtout montré que ce théorème est valable également pour les valeurs négatives et fractionnaires de a, où la série à droite se prolonge avec des z, aux puissances de plus en plus élevées, sans limites. Si z est petit ces puissances deviennent rapidement négligeables, et ce n'est pas une grande erreur de les omettre et d'écrire (pour z de l'un ou l'autre signe)

1/(1 + z)^a ~ 1/(1 + az) ~ 1 - az

Note: Pourquoi ne pas diviser par zéro ? Cela ne fonctionne pas. Il n'y a pas de nombre tel que 1/0 (excepté peut-être l'infini, qui n'est pas un nombre régulier), et l'utilisation d'expressions comme 0/0 peut mener à des contradictions telles que 2 = 3.

Prochaine étape: # M-6 Le Théorème de Pythagore

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Auteur et responsable : Dr. David P. Stern
Mail au Dr.Stern: stargaze("at" symbol)phy6.org

Traduction française: Guy Batteur
guybatteur(arobase)wanadoo.fr