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Les trois lois de Kepler sur le mouvement planétaire

Revue générale à l'intention des enseignants en Science

par David P. Stern   http://www.phy6.org/stargaze/Sstern.htm



        Ce texte est issu d'une conférence donnée le 23 mars 2005 aux professeurs de sciences du comté de Anne Arundel, Maryland. C'est une vue d'ensemble des lois de Kepler avec exemples, applications, problèmes et historique, un document adapté à l'enseignement en classe.
        Elle est associée aux sections adéquates de "From Stargazers to Starships." Des disques ont été également donnés aux professeurs avec le matériel leur permettant de consulter en ligne.


  Les éléments de cette revue sont pour la plupart extraits de "From Stargazers to Starships", un cours d'astronomie détaillé, avec des chapitres sur les mécanismes newtoniens, la physique du soleil et le vol spatial. Sa page d'accueil se trouve à http://www.phy6.org/stargaze/Sintro.htm et comprend également des traductions (espagnoles et françaises), un glossaire, une chronologie, des problèmes, plus de 150 réponses aux questions des utilisateurs. Il utilise l'algèbre et la trigonométrie (dans la limite d'un rappel inclus dans ce cours ), et souligne les concepts, l'histoire, les applications et les liens vers la culture et la société. Ses sections vont du niveau du collège à celui universitaire de l'étudiant de première année.

    Un guide rapide des sections de "Stargazers" sur les lois de Kepler peut être trouvé dans la section "lois de Kepler". ". Dans ce qui suit, ces sections seront parfois mentionnées par leurs numérotation. Vous pouvez également atteindre la liste complète des liens par le "plan du site" en haut de cette page ou par"retour à l'accueil", en bas.

    Notez que les adresses sont données ici en raccourci, parce que vous êtes déjà sur "Stargazers."
    Ainsi la page d'accueil est Sintro.htm
    et non pas http://www.phy6.org/stargaze/Sintro.htm

    Le disque contient trop de matières pour que vous puissiez jamais les développer dans votre classe. Mais vous êtes enseignants, et avez besoin d'une connaissance élargie--vous permettant de sélectionner et choisir le sujet selon les circonstances, et mentionner des particularités originales sans discussion détaillée, juste pour créer de l'intérêt.

    Et avec beaucoup de chance, vous pouvez parfois tomber dans votre classe sur un jeune ou deux qui veulent vraiment découvrir. Vous pouvez les envoyer ici , sur le web, pour une connaissance plus approfondie.

    Laissez-moi souligner trois points:
---Que sont les lois de Kepler, que signifient- elles, et pourquoi sont elles importantes ?..

Les lois ont été établies de 1609 à 16l9, et s'énoncent ainsi (dans leur forme classique) :



  1. 1. Les planètes se déplacent autour du soleil sur des trajets en forme d' ellipses, dont le soleil occupe un des foyers
  2. 2. Des secteurs égaux sont balayés pendant des périodes égales par la ligne reliant le soleil à la planète considérée.
  3. Le carré de la période orbitale d'une planète est proportionnel au cube (3ème puissance) de sa distance moyenne du soleil.
        (autrement dit " au demi grand axe " de l'ellipse, la moitié de la somme de la plus courte et de la plus longue distance au soleil)

Le contenu des lois de Kepler

    Les lois de Kepler décrivent le mouvement des planètes autour du soleil.
Kepler connaissait 6 planètes : La Terre, Venus, Mercure, Mars, Jupiter et Saturne.
L'orbite de la terre autour du soleil.
Vue en perspective, la forme de
l'orbite réelle est très proche du cercle.

    Toutes (et d'ailleurs aussi la lune) se déplacent dans le même plan ou presque (section #2 de "Stargazers"). Le système solaire est aplati comme une crêpe ! La terre est dans la crêpe, donc nous voyons le système entier comme sur le bord de la crêpe, semblant être aligné sur celui-ci (ou peut-être une bande étroite coupant le ciel et connue sous le nom d' écliptique). Toutes les planètes, et aussi la lune et le soleil, circulent à proximité de l'écliptique. Si vous voyez un groupe d'astres lumineux alignés dans le ciel - cet alignement comprenant aussi quelquefois la lune, (dont l'orbite est également proche de la "crêpe"), et le point de l'horizon où le soleil vient de se coucher, ce sont probablement des planètes.

        Les astronomes de l'antiquité pensaient que la terre était au centre de l'univers - et que la sphère où étaient accrochées les étoiles tournait par rapport à celle-ci (nous savons maintenant, qu'en fait c'est la terre qui tourne). Les planètes se déplaçaient sur leurs propres" sphères en cristal" de façon particulière : elles se déplacent habituellement dans un même sens, mais quelquefois leur mouvement se renverse pendant un mois ou deux, et personne ne savait pourquoi.

    Nicholas Copernic, un ecclésiastique polonais, se rendit compte en 1543 que ces mouvements pouvaient se comprendre à condition que les planètes se déplacent autour du soleil, que la terre soit l'une d'entre elles et que les plus éloignées se déplacent plus lentement : de ce fait la terre les rattrape de temps en temps, et elles semblent reculer pendant un moment. Comme les orbites de Venus et de Mercure sont à l'intérieur de celle de la terre, elles ne s' éloignent jamais loin du soleil. Voilà pourquoi on ne voit jamais Venus à minuit !

    Je souhaite que vous décriviez ces données-- la "crêpe" de l'écliptique, le mouvement inversé ("rétrograde"), Venus toujours près du soleil -- pour aider les étudiants à se représenter l'apparence des planètes dans le ciel comme de brillantes étoiles se déplaçant sur le même trajet que le soleil et la lune. Les 12 constellations situées sur cette ligne sont celles du zodiaque , un terme bien connu pour ceux qui s'intéressent à l'astrologie. Venus, la planète la plus lumineuse, oscille de part et d'autre de la position du soleil, et Mercure aussi -- mais comme il est beaucoup plus près du soleil, on ne peut le voir qu'à son point le plus éloigné du soleil, et seulement peu de temps après le coucher où le lever de celui-ci.

    Les étudiants auront probablement entendu ou lu que le pape et l'église ont combattu l'idée de Copernic, parce que dans un des psaumes (qui sont vraiment des prières-poésies) la bible indique que Dieu "a créé la terre pour qu'elle ne déplace pas" ( une traduction plus correcte étant"qu'elle ne s'effondre pas "). Galilée , un italien contemporain de Kepler, adepte des idées de Copernic, fut accusé par l'église de déviance et fut condamné à résidence pour le reste de sa vie.

    A cette époque les hommes suivaient aveuglément les auteurs de l'antiquité (comme le grec Aristote) plutôt que de contrôler par eux mêmes ce qui se passait réellement dans la nature. Quand ils ont commencé à le vérifier, par l'observation, l'expérimentation et le calcul, ce fut l'avènement de la révolution scientifique. Notre technologie moderne en est le résultat final, et les lois de Kepler (ainsi que les travaux de Galilée, et ceux de William Gilbert sur le magnétisme) sont importantes, parce qu'elles ont inauguré cette révolution. .
 Johannes
 Kepler

    Kepler avait travaillé avec Tycho Brahe, un noble danois qui avait poussé l'astronomie d'avant le télescope à une précision extrême, mesurant aussi exactement que possible à l'Ļil nu les positions des planètes . (Brahe est mort en 1602 à Prague, maintenant capitale tchèque ; les télescopes ont démarré avec Galilée autour de 1609). Si vous voulez faire leur connaissance , je vous recommande "Tycho et Kepler" de Kitty Ferguson, passé en revue à http://www.phy6.org/outreach/books/Tycho.htm ou au moins, lisez en l'analyse. En voici une citation :

        L'intolérance religieuse était répandue -- en effet, ces événements se situaient à l'époque de la guerre de 30 ans (1618-48), la lutte religieuse la plus destructive de l'Europe, répercutée par une guerre civile en Grande-Bretagne. Kepler fut chassé de Graz, avec tous les autres employés des universités protestantes de la ville, lorsque l'archiduc régnant décréta qu'ils devaient partir de la ville à la tombée de la nuit, le jour même. A cette même époque la mère de Kepler a été arrêtée pour sorcellerie , la plupart de ses nombreux descendants sont morts dans l'enfance, et le mariage de Tycho fut secondairement considéré comme une union illégale parce qu' il avait choisi une épouse non noble.

    Essayez d'expliquer cela aussi aux étudiants. En 1620 les "pèlerins" débarquèrent sur le rocher de Plymouth, fuyant les effets de la guerre religieuse qui dévastera ultérieurement l'Europe. C'est très probablement en souvenir de ces guerres que les USA ont, beaucoup plus tard, décrété la séparation de l'église et de l'état. Expliquez comment le développement de la science et la société sont souvent étroitement liés.

Première Loi de Kepler



    (1) Les planètes se déplacent autour du soleil selon des ellipses dont un des foyers est le siège du soleil.


Expliquez d'abord ce qu'est une ellipse : c'est l'une des "sections coniques , " figures obtenues par la section d'un cône par un plan. Une lampe-torche crée un cône de lumière : dirigez le sur un mur plat et vous obtenez une section conique.

    Si vous êtes perpendiculaire au mur, celui-ci. coupe perpendiculairement l'axe du cône et vous obtenez un cercle lumineux.

    Inclinez le cône par rapport au mur : le cercle devient une ellipse. Plus vous inclinez, plus l'ellipse se rétrécit.
      Les courbes sont dites
     "sections coniques" " si leur plan
    découpe un cône.

    Finalement, si l'axe du cône est parallèle au mur, la courbe ne se referme plus: vous obtenez une parabole. Les lois de Kepler incluent toutes les sections coniques, nous le savons maintenant, dont les paraboles qui sont très proches des orbites des comètes non périodiques, qui viennent de très loin.

    (avec encore un peu plus d'inclinaison vous obtenez des hyperboles--non seulement la fin de trajectoire, mais les directions de l'origine et du retour qui font entre elles un angle déterminé).

Les ellipses ont d'autres propriétés -- elles présentent deux points spéciaux, les "foyers", et si vous prenez deux points quelconques sur l'ellipse, la somme des distances (r1+r2) des deux foyers est toujours constante (pour cette ellipse ). La fin de la section #11 expose une plaisante anecdote :"Chuchotements au capitole (des USA)", sur la façon dont un ellipsoïde -- la surface créée en faisant tourner une ellipse autour de son axe -- peut focaliser les ondes sonores.
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    Il y aurait encore beaucoup, beaucoup plus à dire... mais laissez-moi juste évoquer deux points. Ce sont de bons sujets à aborder en classe parcequ'ils montrent que les travaux de Kepler, vers 1610, s'accordent avec les récentes découvertes scientifiques du vingt et unième siècle.
    Tout d'abord, ci-dessous, une ellipse très connue. Son histoire est décrite dans la section #S7-a

http://www.phy6.org/stargaze/Sblkhole.htm

    Vous savez probablement que notre soleil fait partie d'un ensemble en forme de disque formé de très nombreuses étoiles -- environ 100 milliards -- appelé la galaxie. C'est un disque plat, une crêpe comme le système solaire -- et que nous voyons de profil, ici encore. Donc elle se projette sur une bande étroite faite d'étoiles de faible luminosité se découpant dans le globe céleste : c'est la "voie lactée ." Orbit of star S2

    Pourquoi la galaxie (et les autres plus éloignées) se maintient-elle en un seul bloc? Pendant longtemps on a cru qu'il y avait un énorme trou noir noir au centre, mais que celui-ci n'était pas facile à observer parce qu'obscurci par des nuages de poussière. Récemment, des télescopes de haute résolution sensibles au rayonnement infrarouge ont été construits, ayant la possibilité de voir à travers la poussière, et ont montré près du centre de la galaxie une grande concentration d'étoiles en déplacement rapide, selon des orbites qui obéissent aux lois de Kepler. Le site Web montre une étoile satellisée autour du centre dont l'ellipse s'accomplit en 15.2 ans. Les calculs en déduisent une masse d'environ 3.7 millions de soleils, à plus ou moins 1.5 millions.

        [Seulement pour les astronomes: les masses centrales aident à sauvegarder la cohésion de la galaxie, mais il y a en fait trop de masse impliquée, aussi la rotation des parties les plus éloignées du centre des galaxies n'obéissent-elles pas à la 3ème loi de Kepler. De fait, leurs parties principales semblent tourner comme des disques pleins, ce qui est difficile à expliquer à moins de supposer que les galaxies recèlent, en plus des étoiles brillantes, beaucoup "de matière noire" qui reste invisible mais à laquelle la pesanteur s'applique.Voir note à la fin du #20]

    En second lieu, nous avons dit que la terre orbite autour du soleil (et d'ailleurs, les mêmes lois sont également valables pour les satellites artificiels ). Mais imaginez possible d'alourdir progressivement la terre, et d'alléger le soleil en même temps.. Qu'arrive-il alors ? Lorsque la terre et le soleil pèsent le même poids, lequel tourne autour de l'autre ?

    Isaac Newton expliqua les lois de Kepler environ 50 ans après celui-ci, (et grâce à cela, a fermement mis en place "la révolution scientifique", évoquée ci-dessus). Voici comment il procéda :



    ---Tout d'abord il établit les lois fondamentales du mouvement--connues depuis comme les"3 lois de Newton sur le mouvement", et que vous aurez probablement aussi à enseigner.

    ---Puis, il nous apporta la loi de l'attraction universelle --démontrant que la force qui fait tomber les pommes et les pierres est la même que celle qui maintient la lune dans son orbite -- et donc, probablement, qui est responsable du trajet de toutes les orbites au sein du système solaire.

        (Pour plus sur cela (et même pour la pomme), voir la section #20
    http://www.phy6.org/stargaze/Sgravity.htm )

    et enfin, il a montré qu'en fonction de ces deux points, les lois de Kepler pouvaient être mathématiquement calculées....


    ... mais il faut préciser une petite modification : les planètes orbitent non pas autour du soleil, mais autour d'un centre de gravité commun. Pendant que la terre accomplit un tour complet en un an autour du soleil, celui-ci tourne aussi, à très petite échelle, autour du centre de gravité Soleil-Terre.

    (En fait, le soleil est également mobilisé par Jupiter, Saturne etc.. et le modèle en résultant est complexe.)

    Pouquoi est-ce important ? En particulier parce que cela nous aide à découvrir si d'autres étoiles ont des planètes ! Nous ne pouvons pas voir ces planètes - pas assez lumineuses-- mais si les étoiles se déplacent en allers et retours complexes, cela peut être parce qu'une planète le fait aussi.

    Y a-t-il des résultats ? Oui et non (voir en fin de #11a). De nombreuses planètes ont ainsi été découvertes de cette manière, mais la plupart sont trop proches de leur étoile (cycles sur une échelle de temps de l'ordre de la semaine ) et sont très grosses. Découvrir des planètes de la taille de la Terre est plus difficile-les mouvements sont moins importants et il faut les observer pendant de nombreuses années pour conclure à une périodicité de l'ordre d'un an. Mais en tous cas les astronomes travaillent sur ce sujet.
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2ème loi de Kepler



    (2) Le segment de droite qui relie le soleil à une planète parcourt des secteurs égaux en des périodes égales.


(Cette ligne est quelquefois dénommée" rayon- vecteur").
 Illustration de la 2ème loi de Kepler : Les segments AB CD sont parcourus dans le même temps .

    Une ellipse est un ovale symétrique, avec deux foyers symétriquement situés vers les extrémités les "plus pointues" -- un des foyers contient le soleil, l'autre est vide. (dessinez une telle ellipse.) Si les foyers sont de plus en plus rapprochés, l'ellipse ressemble progressivement à un cercle, et quand ils se rejoignent, il s'agit effectivement d'un cercle .

        [ [ L'orbite de la terre, et la plupart des orbites planétaires, sont très proches du cercle. En regardant l'orbite de la terre sans le soleil à son foyer, il est probablement impossible de la distinguer d'un cercle. Avec le soleil on peut tout juste noter qu'il est légèrement décentré. ]

    L'important dans la 2ème loi de Kepler est que bien que l'orbite soit symétrique, le mouvement ne l'est pas. Une planète accélère en s'approchant du soleil, et est à sa vitesse maximale quand elle est au plus près de lui, puis se met à ralentir.

    (L'étoile S2 accélère jusqu'à 2% de la vitesse de lumière en approchant le trou noir du centre de notre galaxie)

        On comprend mieux en termes d' énergie. En s'éloignant du soleil la planète (ou un satellite de la terre), perd de l'énergie en luttant contre l'attraction de la pesanteur, et ralentit, comme une pierre lancée vers le haut. Et comme la pierre, elle regagne son énergie (complètement -- aucune résistance aérienne dans l'espace) lors qu'elle revient.

        Voici un petit exercice,également en section #12A

    http://www.phy6.org/stargaze/Skepl2A.htm

        Supposons une planète dont les distances la plus petite/ la plus grande au centre sont (r1, r2)--ce sont le périhélie et l'aphelie [ ap-helie ]) si le soleil est au centre, ou le périgée et l'apogée) si c'est la terre. (les distances sont toujours mesurées au centre des corps ou des centres de gravité)

        Admettons qu'il s'agisse d'une planète en orbite autour du soleil. Donc -- la vitesse V1 aau périgée est la plus rapide pour l'orbite considérée. C'est aussi la distance couverte en une seconde au périgée. --la vitesse V2 à l'apogée est la plus lente de l'orbite. C'est aussi la distance couverte en une seconde à l'apogée.

    Le secteur parcouru par le " rayon vecteur " r en une seconde après passage au périgée est un triangle rectangle- de petit côté V1, et l'aire couverte est de 0.5 r1 V1

    Le secteur parcouru par le " rayon vecteur " r en une seconde après passage à l' apogée est un triangle rectangle de petit côté V2, et l'aire couverte est 0.5 r2 V2

    Par la loi des secteurs, les deux secteurs sont les mêmes, donc

    r1 V1   =   r2 V2

    En divisant les deux côtés par r1V2
    on obtient :
    V1:V2   =   r2:r1

        Si r2 , distance de l'apogée, vaut 3 fois celle du périgée, la vitesse V2 y est 3 fois plus lente. (note : cette proportion ne fonctionne seulement qu'à ces deux points de l'orbite. Pour les autres positions vitesse et rayon ne sont pas perpendiculaires.)
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        Quand sommes-nous les plus rapprochés du soleil ? Aux environs du 4 janvier , de près de 1.5%, pas assez pour que le soleil nous apparaisse différent.
        Voici une manière rapide de démontrer cette asymétrie (mais vous n'auriez peut être pas le temps de traiter ceci en classe. Dessinez une ellipse, et une perpendiculaire à l'axe principal , à l'endroit du soleil)
       . L'équinoxe du printemps et l' équinoxe d'automne, instants de l'égalité du jour et de la nuit, tombent (par pur hasard) le 21mars et le 22 ou 23septembre, et se situent pratiquement sur cette perpendiculaire.

        Regardez le schéma de l'orbite de la terre au # 3. Dans ce dessin le grand axe ( défini ci-dessus) va de décembre à juin, et sa perpendiculaire de mars-à septembre.

        Si l'orbite était exactement un cercle (auquel cas ce que nous appelons le "grand axe serait complètement arbitraire, un autre diamètre ferait aussi bien l'affaire), la terre se déplacerait à une vitesse constante en raison de la 2ème loi de Kepler, et l'été et l'hivers dureraient le même temps. En fait, il y a environ 2 jours de moins pour l'hiver ! (Prenez un calendrier et comptez les jours d'une équinoxe à l'autre).Cela peut vouloir dire :

         
    • o Que l'hiver est plus court, ou
    • o Que la terre se déplace plus rapidement en hiver.

    En fait ces deux conditions sont valables si la terre est au plus proche du soleil vers le 4 janvier. La "moitié" de l'ellipse (déterminée par la perpendiculaire définie ci-dessus) qui est la plus proche du soleil est plus petite (démontrez le avec une ellipse dessinée bien ovale), et parce qu'avec la 2ème loi de Kepler, la terre est plus rapide au plus proche du soleil.
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        Puisque l'hémisphère Nord est au plus proche du soleil en hiver et s'en éloigne en été, les saisons ont tendance à se tempérer, et sont moins contrastées.
        Dans l'hémisphère sud, la différence devrait être plus grande, mais l'étendue des océans modèrent cet effet.

        Par ailleurs l'axe de la terre se déplace autour d'un cône, en environ 26000 ans. Dans 13.000 ans nous serons au plus proche du soleil au milieu de l'été, et les variations de climat seront plus rudes. Comme expliqué à la section 7, l'origine des périodes glaciaires peut peut-être être rattachée à cet effet, mais nous n'avons pas ici le temps de le détailler.

    3ème Loi de Kepler



    (3) Le carré de la période de l'orbite d'une planète est proportionnel au cube de sa distance moyenne au soleil.

    (ou en d'autres termes - du demi-grand axe de l'ellipse, moitié de la somme de la plus petite et de la plus grande distance du soleil)


    C'est une loi mathématique, et vos élèves auront besoin de calculatrices avec racines carrées, et puissances 3/2 et 2/3 (et sans doute racines cubiques ou puissances 1/3, c'est la même chose)..

    Si deux planètes (ou deux satellites de la terre - c'est le même fonctionnement) ont des périodes orbitales T1 et T2, en jours ou en années, et des distances moyennes au soleil (ou des demi-grands-axes) A1 et A2, la formule exprimant la 3ème loi s'énonce :

(T1 / T2)2   =   (A1 / A2)3

    Les élèves feront spontanément remarquer que s'il est facile de compter les jours pour connaître la période orbitale T (bien que pour être rigoureux il faille en soustraire le mouvement de la terre autour du soleil), par contre comment connaître la distance A ?

    En vérité, ce n'est pas possible, mais il suffit de connaître les proportions entre les différentes distances - les unités ne sont pas concernées par ces rapports. Par exemple, supposons que "planète 2" soit la terre, et que les durées soient en années. Donc T2 =1 (année) et comme on peut mesurer toutes les distances en unités astronomiques (AU) , distance moyenne du Soleil à la Terre, A2 =1 (AU). Dès lors cette loi vaut aussi pour n'importe quelle autre planète,

(T1)2   =   (A1)3
Ceci peut être vérifié, et dans la section 10 vous trouvez les résultats sur cette table :

La 3ème Loi de Kepler
T en années, a en unités astronomiques ; donc T2 = a3
Les anomalies ont des limites en exactitude.
Planète Période T Dist. a du soleil T2 a3
Mercure 0.241 0.387 0.05808 0.05796
Venus 0.616 0.723 0.37946 0.37793
Terre 1 1 1 1
Mars 1.88 1.524 3.5344 3.5396
Jupiter 11.9 5.203 141.61 140.85
Saturne 29.5 9.539 870.25 867.98
Uranus 84.0 19.191 7056 7068
Neptune 165.0 30.071 27225 27192
Pluton 248.0 39.457 61504 61429

    Vous pouvez voir que compte tenu des limites de l'exactitude des mesures, la loi fonctionne joliment bien. Elle montre également que plus grande est la distance, plus lent est le mouvement, ce qui amène les planètes extérieures à être dépassées par la terre, donnant l'impression (pendant un moment) qu'elles se déplacent en marche arrière par rapport aux étoiles, relativement fixes, du ciel. Vous pouvez le prouver mathématiquement pour des orbites circulaires en utilisant les lois de Newton (voir # 21), mais ici aussi je l'omettrai aujourd'hui.

    En kilomètres l'unité astronomique vaut environ 150.000.000 km, 400 fois la distance de la lune. De nombreuses tentatives variées ont été menées pour l'évaluer, en commençant dans l'antiquité par le Grec Aristarque (section # 9a) et sont expliquée en section # 10a. La première mesure assez précise date de 1672, et le récent intérêt sur le dernier "transit de Venus " devant le soleil a été motivé par la proposition faite à ce sujet par Halley (celui de la comète) en vue d' utiliser ces rares phénomènes pour mesurer l'AU (le dernier en 2004, le prochain en 2012, ensuite dans plus d'un siècle). Le calcul, non des plus courts, est aux sections #12c à #12e de "Stargazers". (quelques autres "méthodes" ont été données sur le web, comportant le passage de Venus mais non sa durée, et sont des articles " factices ".)

    De nombreux problèmes peuvent être résolus avec la 3ème loi de Kepler. En voici quelques-uns :

  1. 1. Combien de temps faut-il pour atteindre Mars, en utilisant l'orbite la plus efficace ? - qui s'appelle "l'orbite de transfert de Hohmann" (Wolfgang Hohmann, 1925). Le vaisseau spatial doit d'abord se débarrasser de l'influence de la terre (il reste satellisé autour du soleil, de concert avec la terre, à 30 km/s, à une distance de 1 AU), puis il prend la vitesse néscéssaire à ce que son aphélie (dans son orbite autour du soleil) touche juste l'orbite de Mars, A = l'AU 1.524 (en négligeant l'ellipticité).
    L'orbite de Transfert de Hohmann

        Avec l'orbite de Hohmann, la distance la plus courte est 1.00 AU (la terre), la plus longue est 1.524 AU (Mars), et le demi-grand axe est

    A = 0.5(1.00 + 1.524) = 1.262 AU
    A3 = 2.00992 = T2

    La période est la racine carrée T = 1.412 ans
    Pour atteindre Mars, à juste la moitié d'une orbite il faut T/2 = 0.7088 an
    Soit environ 8.5 mois; plus de détails dans la section # 21b.

  2. Combien de temps un vaisseau spatial mettrait -il de la terre au soleil ?
    Le soleil est l'objet le plus difficile à atteindre dans le système solaire! Il est bien plus facile de s'échapper vers l'espace interstellaire (eh oui, ces gens qui parlent de bombardements nucléaires au sein du soleil feraient bien d'apprendre l'astronomie.)

        Pour atteindre le soleil directement à partir de la terre, il faut d'abord débarrasser le vaisseau spatial de l'attraction terrestre. Celle-ci est satellisée autour du soleil, à 30 km/sec (alors qu'une orbite au ras de la terre ne demande que 8 km/s), aussi faut-il créer une poussée additionnelle opposée, ajoutant (-30 km/s) à sa vitesse. Il tombe alors directement vers le soleil.

        Cette orbite est également une ellipse, bien que très aplatie . Sa longueur totale est 1 (et son demi-grand axe A = 0.5 AU. De par la 3ème loi, A3 = 0.125 = T2, dont la racine carrée, en années est T=0.35355. Nous pouvons diviser par 2 (c'est un voyage à sens unique !) et multiplier par 365.25 pour obtenir des jours. Après multiplication :

    T/2 = (0.5) 0.35355 (365.25) = 64.6 jours

  3. 2. À quelle distance (du centre de la terre) les satellites synchrones orbitent-ils ? Ce sont (le plus souvent) des satellites de communication et ils ont des périodes de 24 heures, pour les aider à rester au-dessus du même point de la terre. La lune, plus éloignée, est à 60 RE ( rayons de la terre) et sa période est T = 27.3217 jours (voir la section 20 sur l'attraction universelle). L'orbite synchrone étant circulaire, A équivaut au rayon R. Nous obtenons
    (R/ 60)3   =   R3 / 216,000   =   (1 / 27.3217 jours 2  
               =   1/ (27.3217 jours 2   =   1 / 746.5753

    donc
    R3   =   216,00/746.5753   =   289.32

    Ce nombre est entre 63 = 216 et 73 = 343, et quand la calculatrice donne R = 6.614 RE. vous savez que vous tenez le bon résultat.

  4. 3. Jusqu'où s'éloigne la comète de Halley ?

    Sa période est d'environ 75 ans, et 752 = 5625. Prenez en la racine cubique : A = 17.784 AU. Ce qui équivaut au DEMI-grand axe. La longueur de l'ellipse orbitale entière est donc 2A = 35.57 AU. Le périhélie est à l'intérieur de l'orbite de la terre, à moins de 1 AU du soleil, aussi l'aphélie est à environ 35 AU du soleil -- et la table montre que c'est quelque part entre l'orbite de Neptune et de Pluton.


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Si vous êtes enseignant et projetez de traiter les lois de Kepler, j'espère que ce rapide survol vous a fourni un éventail d'outils et d'astuces qui peuvent s' avérer utiles en salle de classe.

Continuez maintenant ! Vous en saurez beaucoup plus dans les sites Internet décrits ici ou inclus dans votre disque.


D'abord parmi les sections sur les lois de Kepler : #10 Kepler et ses lois

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Auteur et responsable :   Dr. David P. Stern
     Mail au Dr.Stern:   audavstern("at" symbol)erols.com .

Traduction française: Guy Batteur guybatteur(arobase )wanadoo.fr

Dernière mise à jour : 3-21-2005