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(M-18)     Logarithmes Naturels

Et amélioration de l'exactitude du calcul approché des logarithmes


Base des Logarithmes

Nous avons vu en commençant que si log10 x = y (lire "le logarithme en base 10 de x est y"),
cela revient à dire que x = 10y.

    D'autres nombres que 10 peuvent servir "de base" à un ensemble de logarithmes, bien qu'alors ils perdent leur principal avantage. On le comprend mieux si x est exprimé en notation scientifique, où tous les nombres sont exprimés par un nombre compris entre 1 et 10, multiplié par une puissance de 10, par ex.

x =1492 = 1,492 103
et
log x = log 1,492 + 3 = 3,173769..

Par définition, 1,492, cette partie qui donne la "structure détaillée" de x, est la partie décimale du logarithme alors que la puissance de 10, qui donne l'étendue de x, correspond uniquement à la partie entière du logarithme ("caractéristique"). Si la base n'est pas 10, les propriétés de cette caractéristique se perdent et les nombres composés des mêmes chiffres mais avec une position différente de leur point décimal - (la virgule) - (par ex. 1492 et 14,92) ont des logarithmes très distincts.

Quand même, il arrive qu'une autre base puisse être aussi quelquefois intéressante.

Permutation de bases

Prenons le nombre "A" comme base de nos nouveaux logarithmes. Donc :

x = Ay                     (1)
c'est à dire :
y = logA x                 (2)

Quelle relation entre ces "nouveaux" logarithmes et les "précédents" log x en base 10 ? Pour passer de l'un à l'autre, il faut connaître "le précédent " log de A. Notons le B

B = log10 A               (3)
donc
      10B= A                   (4)

Remplaçons cette valeur dans (1), par la formule d'élévation de la puissance d'un nombre à une autre puissance :

x = (10B)y = 10(By)         (5)

Prenons les logs (en base 10) et en utilisant (3) et (2)

log10x   =   By   =   (log10 A)(logA x)         (6)
d'où
(logA x)   =   (log10x )/ log10 A         (7)

Ainsi pour "passer" d'un ancien log en base 10 en un autre ayant une nouvelle base A, il suffit de le multiplier par le nombre constant 1/log10A .
    On peut aussi exprimer de façon différente cette constante. Puisque (7) est valable pour N'IMPORTE QUELLE valeur de x, essayons x=10
(logA 10) = (log1010 )/ log10 A               (8)

Cependant , log10 10 = 1 (en réponse à la question : à quelle puissance faut-il élever 10 pour obtenir 10 ?). Ainsi

(logA10) = 1/ log10 A               (9)

(Notez au passage que pour toute base A, logA A = 1. "A quel puissance faut-il élever A pour obtenir A ?"). En s'aidant de chaque coté de (9) on peut alors obtenir le facteur constant de conversion.

Logarithmes Naturels et Approximation Binomiale

    Les logarithmes en base e sont dits logarithmes naturels et sont souvent notés "ln" au lieu de "log" (quoique à l'usage, on constate que " log", sans autre indication, est employé souvent pour logarithme naturel, tandis que pour la notation en base 10, rarement utilisée, est accompagnée d'un indice inférieur.) Ils peuvent ne pas être le système le plus adapté aux calculs, puisque (par exemple) les logs naturels de 1.492, 14,92, 149,2 et 1492 se présentent tous très différemment. Pourtant, ils ont une propriété (utilisé par Henry Briggs dans la conception de ses tables originales) qui est extrêmement utile : si un nombre y est très petit, alors, avec une bonne approximation :

loge (1 + y)  ~  y                       (10)

Nous pouvons déduire cette approximation par le Théoréme binomial de Newton (Newton a vécu un peu plus tard, mais nous n'entrerons pas ici dans ce sujet):

(1+y) n = 1  +  ny  +  [n(n–1) / (1.2)] y2  +  [n(n–1)(n–2) / (1.2.3)] y3 +...         (11)

    Il faut noter ici est que si y est beaucoup plus petit que 1, y2 est beaucoup, beaucoup plus petit, et que plus les puissances sont élevées, plus l'accroissement de leurs valeurs est faible. Ca veut dire que si y vaut 1/1000, alors y2 vaut 1/1.000.000, y3 = 1/1.000.000.000 et ainsi de suite et que si l'exposant de la puissance n est relativement modeste (disons, 5,3), négliger la totalité des puissances supérieures reste une très bonne approximation
(1 + y) n ~ 1 + ny                 (12)

Et si x est un grand nombre, par exemple 1000, alors, à une très bonne approximation :

(1 + 1/x) x ~ e                     (13)
et
ey ~ (1 + 1/x) (xy)                 (14)

Si y est petit - disons de l'ordre de 1/1000, ou pas beaucoup plus grand, xy reste un nombre "modeste" et l'approximation binomiale est encore valable :

ey   ~  [1 + (1/x)(xy)]   =   1 + y         (15)

Prenez les logarithmes naturels des deux côtés et vous vous retrouvez avec (10).

Le Facteur de Conversion

Pour passer des ou aux logs naturels, en utilisant (7) et un des facteurs de (9), il faut connaître

log10e

Ici aussi nous nous permettons une approximation relativement grossière. Nous avons trouvé e = 2,71828.... Soit environ

e  ~  2,7
Avec cette approximation
10 e ~ 27 = 33

Avec les logs communs :
log 10 + log e ~ 3 log 3 ~ 3 (0,475) = 1,425


Et puisque log 10 = 1
log e ~ 0,425         (16)

    La valeur exacte est 0,434294 ... d'ailleurs Henry Briggs (qui a utilisé quelque chose comme (10)), l'a calculé avec beaucoup plus de décimales, même s'il ne connaissait pas les qualités du nombre "e" et ses liens avec les intérêts composés. L'approximation (13) devrait être suffisamment exacte pour améliorer nettement nos logarithmes bruts. Préparez vos calculatrices! Nous avions

210= 1024 =(1000)(1,024)
Saisie des logs
                    10 log 2   =   3 + log (1,024)                 (17)

Isolons log x dans l'équation (7), avec ici x =1,024 et en utilisant (10)

log 1,024   =   (loge1,024)(log10e)   ~   (0,024)(0,425)   =   0,0102

Et donc, à partir de (17)
10 log 2 ~ 3,0102                

        log 2   ~   0,30102                 (18)

Les tables donnent 0,3010299.. Comme il est montré dans la section (M 16), les valeurs correspondantes des logarithmes de 4,8 et 5 suivent immédiatement. (D'après 18)

log 8 = log (23) = 3 log 2 ~ 0,90306

Par des étapes identiques on obtient le log 3 :
34 = 81 = (80)(1,0125)
En logs :
4 log 3   ~   (1 + 0,90306) + (0,0125)(0,425)   =   1,9083725
d'ou
        log3   ~   0,477093..                 (19)
Alors que les tables donnent
log 3 = 0,47712...

    Ainsi dans les deux cas l'exactitude de notre approximation frôle les 1 % à la 5ème décimale, presque aussi bien que dans les tables imprimées. Vous pouvez explorer vous-mêmes le log 7, en utilisant l'approximation de la section M16. Nous pouvons aussi rechercher une meilleure approximation de l'importante constante Nous avons log e. Nous avons

      e3   =  20,0855  ~   20                     (20)

En prenant des deux côtés le logarithme commun et en utilisant (18) ci-dessus

3 loge   ~   1 + 0,30102   =  1,30102           (21)

d'ou
      loge   ~   0,43367                                 (22)

Les tables donnent 0,4342945 ..., (22) ne donc donne pas une précision aussi bonne que (18) ou (19), mais cependant celle-ci reste beaucoup meilleure que (16). Pourtant, vous pouvez maintenant "vous hissez sur la pointe des pieds" :

            20,00855 = 20.(1,004275)                 (23)

Prenez de nouveau les logs en base 10 (de 20)

3 loge   ~   1 + 0,30102   + log 1,004275           (24)

Par eq. (7) et l'utilisation de (22)

        log101,004275  =  (loge1,004275) . (log10e)   ~ (0,004275).(0,43367)   ~   0,001854

donc
log10e   ~   (1,30102 + 0,001845) / 3   =   0,4342913...           (25)

qui est exact à 5 décimales. Et on peut même aller plus loin!

Auteur et Conservateur :   Dr. David P. Stern
     Mail au Dr.Stern:   stargaze("at" symbol)phy6.org .

Dernière mise à jour : 9 November 2007

Traduction française : Guy Batteur ( guybatteur arobase wanadoo.fr )