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(M-10) La Trigonometría para ángulos mayores de 90°

"Astrónomos" introdujo dos formas de describir la posición de un punto P en un plano (p.e. una hoja de papel): las coordenadas cartesianas (x,y) y las polares  (r, φ). 

Ambas usan como referencia un punto O ("origen") y un línea recta a través de él ("el eje x"). En las coordenadas cartesianas se dibuja un segundo "eje y" por O, perpendicular al primero, y se dibujan desde P unas líneas paralelas a los ejes, que cortan los ejes en los puntos A y B del dibujo. Las distancias OA y OB nos dan los números que definen P, las coordenadas x , y del punto.

En coordenadas polares, el punto P se define por su distancia r desde el origen O (vea el dibujo) y su ángulo polar  ("azimuth" en un mapa) entre el eje de las  x y el "radio" r = OA, medido antidextrogiro (hacia la izquierda). 

Como la figura OAPB es un rectángulo, la distancia AP es igual a y. Por consiguiente

sen  φ = y/r
cos φ = x/r

Multiplicando todo por r nos da la relación entre los dos sistemas de coordenadas (los símbolos que están juntos se están multiplicando):  φ

x = r cos  φ
y = r sen φ

Estas relaciones permiten que puedan ser calculadas (x,y) cuando se proporciona (r, φ). Opuestamente, dados (x,y), lograr (r, φ), obsérvese que en el triángulo OAP, por Pitágoras

x2 + y2 = r2

Por lo tanto, dados (x,y), se puede calcular r y luego (sen φ, cos φ) se pueden calcular como antes 

sen φ = y/r
cos φ = x/r

(excepto en el punto de origen O, donde (x, y, r) son cero y las fracciones anteriores se hacen 0/0; se puede escoger cualquier valor para el ángulo  φ).

Sin embargo, continúa existiendo un problema. El ángulo  φ tal y como se ha definido anteriormente puede ir desde 0 a 360°, pero (sen φ, cos φ) están definidos para 0 a 90°, cubriendo solo la parte del plano donde x e y son positivas. Cuando uno o ambos son negativos, el ángulo  φ es mayor de 90 grados, y esos ángulos nunca aparecen en ningún triángulo rectángulo. ¿Qué solución (sen φ, cos φ) podemos tener para  φmayor de 90 grados?

Es simple: use las ecuaciones anteriores para redefinir el sen φy el cos φ para esos ángulos. Las ecuaciones son 

sen φ = y/r
cos φ = x/r

Se ven ahora como nuevas definiciones del seno y del coseno, para el ángulo polar  φformado por x e y. Si (x,y) son positivos, el resultado es exactamente el mismo que para los ángulos dentro de un triángulo rectángulo. Pero también es válido para ángulos mayores. Ahora el seno y el coseno pueden ser negativos (como x e y) pero su magnitud no puede exceder de 1, debido a que la magnitud de x e y nunca es mayor que r. He aquí los signos:

Rango sen φ = y/r cos φ = x/r
0-90° + +
90°- 180° + -
180° - 270° - -
270°-360° - +
Permitiendo ir a la línea OP alrededor del origen más de una vez hace crecer al ángulo  φmás de 360°; el seno y el coseno se siguen definiendo como y/r e x/r, y repite sus valores anteriores. Igualmente, girando OA en la dirección opuesta, a derechas, se definen valores negativos de  φ. Conjuntamente, esas extensiones definen los (sen φ, cos φ) para cualquier ángulo  φ, positivo o negativo, de cualquier medida.

La relación derivada del teorema de Pitágoras

sin2 φ+ cos2 φ = 1

sirve para cualquiera de esos ángulos. Si el seno o el coseno es cero, la otra función debe ser +1 ó -1, dependiendo del signo de la coordenada (x o y) que los definen. A 90° y 270°, x = 0 y por lo tanto cos φ = 0, mientras que a 0° y 180° y = 0 y por lo tanto sen φ = 0. Luego obtenemos

Ángulo sen φ = y/r cos φ = x/r
0 +1
90° +1 0
180° 0 -1
270° -1 0
360° 0 +1
Por supuesto,  φ= 0° y  φ = 360° representan la misma posición de r, a saber, a lo largo de la rama positiva del eje x . debajo está la gráfica del cos φ:


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Próxima Etapa (opcional):   #M-11    Deducir el sen(a+b), cos(a+b)

Author and Curator:   Dr. David P. Stern
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Spanish translation by J. Méndez

Last updated 13 December 2001