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(34b) Les Points de Lagrange L4 et L5

    Note: Note: Ce calcul est destiné aux utilisateurs à l'aise avec l'algèbre et relativement familiers de la trigonométrie. Il est plus long et plus complexe que les autres calculs présentés dans "des Observateurs". Si vous envisagez son étude, ce serait sans doute une bonne initiative de le copier et de le vérifier sur le papier, au fur et à mesure.
        Un autre calcul, plus court, plus élégant, plus général mais avec des vecteurs et un système de référence pour les rotations - est exposé dans la section (34c).
Comme nous l'avons déjà vu, un vaisseau spatial reste stable par rapport au Soleil et à la Terre s'il est situé aux points L1 et L2 de Lagrange, sur la ligne Terre - Soleil (en ne considérant que l'interaction de ces deux corps seulement). Mais il y a aussi trois points complémentaires . L'un, L3, est sur la ligne Soleil - terre, mais du côté opposé au Soleil, à une distance identique de la Terre. Il n'a pas d'utilisation pratique, parce qu'un calcul effectué uniquement avec la Terre et le Soleil ne donne pour cette position qu'un résultat très approximatif : l'attraction des autres planètes peut y excéder celle de la Terre et ne peut pas être ignorée.

Les deux autres points de Lagrange, L4 et L5, sont situés sur l'orbite de la Terre, formant un angle de 60 ° entre les directions du Soleil et de la terre. Pour ces points, le calcul sur deux corps, (Terre et Soleil), y conclue également à un état stationnaire (c'est-à-dire à l'équilibre dans un système de référence tournant avec la Terre). Mais ici aussi, L4 et L5 étant très éloignés, il faut compter avec l'attraction des autres planètes pour obtenir le calcul réaliste du mouvement d'un vaisseau spatial placé à leurs proximité.

Cependant, le système terre - lune présente aussi ses points L4 et L5, qui ont étés considérés comme des sites possibles pour des observatoires et "des colonies spatiales" auto- maintenues.

Ils ont l'importante propriété (qui ne sera pas démontrée) d'être stables. Alors qu'au contraire, l'équilibre des points L1 et L2 est instable, comme celui d'une plaque de marbre en équilibre sur une sphère. Si elle est placée exactement au sommet de la sphère, le marbre reste en place, mais la plus légère poussée la fait osciller de plus en plus loin de la position d'équilibre, puis tomber. Au contraire, l'équilibre de L4 ou L5 ressemble à celui d'un marbre rattaché à une cupule arrondie : après une légère poussée, il revient de nouveau à sa position. Ainsi un vaisseau spatial placé en L4 ou L5 n'a pas tendance à divaguer, contrairement à ceux de L1 ou L2 qui nécessitent de petites fusées à bord pour les replacer de temps en temps.

Ici nous montrerons que L4 et L5 du système terre lune sont des positions d'équilibre dans les référence qui s' attachent à la rotation de la Lune, en supposant circulaire son orbite. La question des orbites non - circulaires et celle de la stabilité sont au-delà de la portée de cet exposé.

Les outils du Calcul

  1.   Nous utiliserons la loi de la gravitation de Newton, et le fait que le centre de l'orbite de la Lune ne coïncide pas tout à fait avec le centre de la Terre. Le centre réel de l'orbite est le centre de masse (ou "centre de gravité") du système terre - lune (voir la fin de la section 11).

    Comme indiqué dans la section 25, si m est la masse de la Lune et M celle de la Terre, le centre de masse est le point qui divise la ligne terre - lune dans une proportionm:M. Si A est le centre de la Terre, B celui de la Lune et c la distance qui les sépare ( dessin), D étant le centre de masse, alors :

    AD = cm/(m+M)
    DB = cM/(m+M)

    Il est facile de vérifier que la somme de ces distances est c et leur proportion m/M. Une autre forme de DB (qui nous sera utile ) s'obtient en divisant numérateur et dénominateur par M:

    DB = c/(1 + m/M)

  2.   En trigonométrie, nous utiliserons "la loi des sinus". Supposons un triangle ABC de taille et de forme arbitraire (dessin). Les trois angles sont A, B et C, et les longueurs des côtés leur faisant respectivement face sont notés a, b et c. D'après cette loi :

    sinA/a = sinB/b = sinC/c

On peut le démontrer pour les angles A et B, en menant à partir du troisième angle C une perpendiculaire au côté opposé du triangle. Si h est la longueur de cette ligne. Il vient

sinA = h/ b          b sinA = h
sinB = h/ a          a sinB = h

D'où :

b sinA = a sinB

Et divisant les deux côtés par ab on obtient le résultat recherché. Cela s'applique aussi avec l'angle C, en répétant le calcul avec une ligne perpendiculaire tracée de A ou B.

  •   Nous aurons aussi besoin de l'identité trigonométrique du sinus de la somme de deux angles. Si ces angles sont notés par les lettres grecques α et β

    sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ

      • Notez !   la formule ci dessus utilise les lettres grecques ""alpha" and "beta", écrites α et β. Si vous constatez que les lettres sont ici "a" et "b", c' est que votre systeme de caractères ne peut faire mieux, et vous obtiendrez toujours "a" et "b."

    Le calcul cette identité est donné séparément.

  •   Et enfin, nous utiliserons la résolution des vecteurs (voir section 14). Soit une force F agissant sur un objet à un point quelconque C, en faisant un angle α avec une direction donnée, ici R ( dessin). On désire résoudre F en composants parallèles ou perpendiculaires à R. Si dans le triangle CPQ, CP représente la force F, CQ et QP représentent ses composants parallèles et perpendiculaires. Et donc :

    sin α = QC/CP
    cos α = QP/CP
    Donc :
    Force parallèle = CQ = F sinα
    Force Perpendiculaire = QP = F cosα

      Les conditions d'Equilibre

      1. Au schéma déjà présenté pour montrer le centre de masse du système terre- lune, nous ajoutons un vaisseau spatial au point C, à une distance b de la Terre, a de la Lune et R du centre de masse D. Comme dans la loi des sinus, nous nommons les angles (A, B, C) et les côtés (a,b,c) . Les dénominations analogues se font face.

      Nous désignons par (α, β) les deux parties l'angle C de chaque côté de R. A vérifier avant de continuer !

      La question à résoudre est : Dans quelles conditions le satellite, situé en C,reste il stable par rapport à la Terre et la Lune ?

      Le calcul est plus facile dans le cadre de la rotation de la Lune. Dans ce cadre, si un satellite en C est en équilibre, il restera toujours à la même distance de la Lune ou de la Terre. Le centre de rotation des 3 points est le point D, la Terre elle même tourne autour de lui. Si le vaisseau spatial, en C, reste stabilisé, les trois corps ont la même période orbitale T. Si C est immobile dans ce cadre en rotation, il n'est pas soumis à la force de Coriolis (qui agit seulement sur des objets se déplaçant dans ce cadre ), mais il sera soumis à la force centrifuge, aussi bien celle de la Lune que celle de la Terre.

      Mettons en équations

           -- Equations qui visent à trouver les distances et les angles

      (1) Noter d'abord que le rayon de rotation R du vaisseau spatial sera
          différent de celui de la Lune, qui est, comme déja vu : c/(1 + m/M)

      Notons V la vitesse de rotation de la Lune, et v celle du vaisseau spatial. Puisque Distance = vitesse x temps

      2π R = vT           2π c/(1 + m/M) = VT
      On en tire

      2π/T = v/R

      2π/T = (V/ c)(1 + m/M)

      Ces deux expressions égales à 2π/ T sont aussi égales l'une à l'autre, d'où

                (1)                   v/R = (V/c)(1 + m/M)

      Cela exprime simplement le fait bien connu que si deux objets tournent conjointement, le plus éloigné de l'axe est plus rapide . Les vitesses sont proportionnelles aux distances à l'axe.

      (2) La force centrifuge sur la Lune est

      mV2/[c/(1 + m/M)] = m(V2/c)(1 + m/M)

      Et elle est équilibrée par l'attraction de la Terre

      GmM/c2

      où G est la constante de gravitation de Newton, mesurée pour la première fois par Henry Cavendish. Dans une orbite circulaire, les deux facteurs sont égaux et s'équilibrent (comme dans le calcul de la section 20):

      GmM/c2 = m(V2/c)(1 + m/M)

      En divisant les deux termes par (m/c) on obtient une deuxième équation :

                (2)                     GM/c = V2 (1 + m/M)

      (3) Si m' est la masse du vaisseau spatial, la force centrifuge qui s'y applique est :

      m' v2/R

      Elle est équilibrée par la force Fe d'attraction de la Terre et Fm celle de la Lune. Néanmoins, seules les composantes de ces forces situées sur la ligne R s'opposent efficacement à cette force centrifuge. D'ou :

      m'v2/R = Fm cosβ + Fe cosα

      Et selon la théorie de Newton de la gravitation :

      Fm = G m'm/a2

      Fe = G m'M/b2

      Si dans la dernière équation, juste au dessus, on remplace par cette équivalence, et si on divise par m' les deux côtés, on obtient une 3ème équation :

                (3)                   v2/R = (Gm/a2) cosβ + (GM/b2) cosα

      (4) Finalement, les forces s'appliquant au vaisseau spatial perpendiculairement à R doivent s'annuler. Si non, le vaisseau spatial suivrait la plus importante, ne resterait pas en C, et ne serait donc plus en équilibre. Il faut donc que :

      Fm sinβ = Fe sinα

      Après substitution et division des deux côtés par Gm', il reste :

                (4)                   (m/a2) sin β = (M/b2) sin α

      Récapitulons l'ensemble des équations :

        1.               v/R = (V/c)(1 + m/M)

        2.               GM/c = V2 (1 + m/M)

        3.               v2/R = (Gm/a2) cos β+ (GM/b2) cos α

        4.               (m/a2) sinβ = (M/b2) sinα

      3 types de quantités apparaissent ci.
      • ---Certaines sont connues et constantes --G, m et M. Leurs valeurs sont données et nous ne nous attendons pas à ce qu'elles changent.
      • --Certains sont les distances--r, a, b et c--elles dépendent des positions de la Terre, de la Lune et du vaisseau spatial dans l'espace. Les angles ( α,β) dépendent aussi de ces distances, mais nous n'aurons pas besoin de les connaître exactement.
      • --Et certaines sont des vitesses, à savoir v et V.
      Il faut arriver à éliminer ces vitesses, pour se mettre dans dans des conditions purement géométriques, n'impliquant que des distances et des angles.

      Nous avons précédemment déjà effectué une élimination à propos de deux équations comprenant la période orbitale T, qui équivalait chacune à 2π/T. En rapprochant ces deux expressions égales, nous avons obtenu une expression plus simple, ne contenant plus T (dans un processus d'élimination, on renonce toujours à une équation: on commence avec deux, on termine avec une seule.)

      Il faut suivre ici la même démarche et éliminer V entre (1) et (2) pour obtenir une équation n'impliquant que v. Puis nous éliminerons v entre ce résultat et (3), pour obtenir une équation ne comportant plus de vitesses, comme (4), qui ne contient plus ni v ni V.

      Dans (1), portez au carré les deux côtés :

      v2/R2 = (V2/c2) (1 + m/M) 2

      Multipliez les deux côtés par c2 Et divisez-les par (1 + m/M)

      v2 (c2/R2)/[1 + m/ M] = V2 (1 + m/M)

      A rapprocher de (2)

      GM/c = V2 (1 + m/M)
      On peut donc égaliser :

                  (5)               v2 (c2/R2) /[1 + m/M] = GM/c

      et V vient d'être éliminé. Multipliez maintenant les deux côtés par (1 + m/M), divisez-les par c2 et multipliez-les par R

      v2/R = (GM/ c3)R (1 + m/M)
      A rapprocher de (3)

      v2/R = (Gm/a2) cosβ + (GM/b2) cos α

      Donc ( multipliantR d'un facteur 1/c)

      (GM/c2) (R/c) (1 + m/M) = (Gm/a2) cosβ + (GM/b2) cosα

      En divisant le tout par GM on retrouve une des équations de départ, et une autre, qui est (4)

      (6)       (1/c2) (R/c) (1 + m/M) = (1/a2)(m/M) cosβ+ (1/b2) cosα

      (4)           (m/a2) sinβ = (M/b2) sinα 

      Plutôt compliqué! Cependant, si nous avons déjà jeté un coup d'œil sur la réponse nous pensons qu'il y auraient d'heureuses surprises si le triangle ABC était équilatéral, avec ses angles valant tous 60 ° et ses côtés égaux, tous d'une même longueur, que nous noterons r:

      a = b = c = r

      Dans ce cas, si les équations ci-dessus sont multipliées par r2, les facteurs (1/a2), (1/b2) et (1/c2) disparaissent ! Laissant :

      (7)       (R/c)(1 + m/M) = (m/M)cosβ + cosα

      (8)           m sinβ = M sinα

      Ou               m/M = sinα /sinβ

      Substituons dans le terme droit de (7)

      (R/c)(1 + m/M) = (sinα cosβ/sinβ) + cosα
      Multiplions par sinβ

                sin β (R/c)(1 + m/M) = sinα cosβ + cosα sinβ

                                    = sin(α + β) = sin C = sin B

      Cette dernière égalité s'obtient parce que les trois angles (A, B, C) sont égaux .
      Divisons maintenant les deux termes par R, et redisposons
      :

      sin β/[cM/(M+m)] = sin B/ R

      C'est la loi des sinus dans le triangle CDB, et est donc évidemment certain. En reprenant en arrière, on peut maintenant prouver que toutes les équations précédentes, de (1) à (4), sont satisfaites si ABC est équilatéral. Par conséquent C est un point d'équilibre dans cette référence tournante. Si nous n'avions pas posé ABC comme équilatéral, et les distances (a,b,c) nous aurions obtenu une relation différente de la loi des sinus, sans vérification possible, et l'ensemble des équations exigées pour l'équilibre au point C n'auraient donc pu être satisfaites.

      Comme il a déjà été signalé, L4 et L5 sont des points d'équilibre stable, et on les a proposé comme emplacements de grandes "colonies de l'espace", monobloc, à partir d'une idée développée et préconisée par le défunt Gerald o'Neill. En 1978 Higgins et Barry Gehm ont même écrit pour les colons potentiels une "complainte de L5" : "Home on Lagrange" sur l'air de "Home on the range". Voici son commencement : cela donne à peu près ceci :

      Repaires de Lagrange

        Oh, donnez moi un lieu
        où les gravitons se focalisent
        où le problème trois corps soit résolu
        où les micro-ondes jouent
        sous 3 degrés K
        Et les froids virus n' évolueront jamais.

        CHOEUR:
        repaires, repaires de Lagrange
        Là où les débris de l'espace se rassemblent toujours...

      NOTE. Le "problème des trois corps" est la recherche de la solution du mouvement de trois corps s'attirant mutuellement. Il est célèbre parce que les astronomes ont buté sur lui pendant de nombreuse d'années. Le roi de Suède avait même offert un prix à qui le résoudrai : le prix a été revendiqué par le mathématicien français Henri Poincaré, qui a prouvé qu'en général il est insoluble - qu'aucune formule explicite ne peut prévoir le mouvement dans un avenir indéfini. Dans la terminologie d'aujourd'hui,on dirait que le mouvement général des trois corps a des propriétés chaotiques. Même dans un problème à la limite de celui " des trois corps", où l'un est très petit - par exemple, terre, Lune et vaisseau spatial - il n'y a pas de solution. (Sauf cas particuliers, comme ceux dans lesquels le vaisseau spatial est placé à un des points de Lagrange ).

      En savoir plus :

      Sur les rassemblements spatiaux aux points de Lagrange :

      • Gerald K. O'Neill, "The Colonization of Space", Physics Today September 1974, p. 32.

      • Gerard K. O'Neill, "The High Frontier", William Morrow and Co., NY, 1977; Anchor Books (Doubleday) 1982.

      Sur L4 et L5 et les astéroïdes bloqués au voisinage de L4 et L5 du système de Jupiter - soleil : "When Trojans and Greeks Collide" by I. Vorobyov, Quantum, September-October 1999, p. 16-19. Cet article contient une autre démonstration de l'équilibre des mouvement en L4 et L5, plus générale (aucune limitation sur les masses), mais utilise un système de référence en rotation et des vecteurs bidimensionnels. Ce calcul peut être trouvé dans la section (34-c) de ce site Web.

      En option:  #34c  Un autre calcul pour les points L4 et L5 (voir le paragraphe ci dessus).

      Prochaine étape:#35 Vers les Planètes, vers les Etoiles

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            Auteur et responsable :   Dr. David P. Stern
           Mail au Dr.Stern:   stargaze("at" symbol)phy6.org

      Traduction française: Guy Batteur guybatteur(arobase)wanadoo.fr

      Dernière mise à jour : 5.25.2004