Plan du Site
Index des Maths
Glossaire
Chronologie
Questions et réponses
(Anglais)
Plans des leçons
(Anglais)

(M-15)   Passer d'une puissance à une autre

Et l'utilisation graphique des logarithmes

Comment (VP) peut lui-même être élevé à la puissance Q

Quelle est la valeur de [(102)]3 ? De toute évidence, il faut multiplier 10 par lui-même plusieurs fois. Puisque

(102) = 10.10 = 100

[(102)]3 est donc la multiplication de ce résultat multiplié par 3 fois:

(10.10).(10.10).(10.10) = 106

En tout : 2.3=6 facteurs de 10. En d'autres termes, si 10 est porté à la puissance deux, puis le résultat à la puissance 3, cela revient au même que l'élévation de 10 à la puissance (2*3) = 6.

    Le même raisonnement s'applique en fait à n'importe quel nombre, s'il est élevé à des puissances de nombres entiers. Pour n'importe quelle valeur entière P et Q, l'élévation d'un nombre V à la puissance P puis à la puissance Q, consiste à élever le nombre V à la puissance (P.Q):
(VP)Q   =   V(P.Q)
Il faut déterminer ensuite si --on peut aussi élever V à une puissance qui ne soit pas un nombre entier, et avec quelle signification ? Nous allons procéder par étapes: d'abord montrer comment cela se fait, formellement, en conservant les mêmes règles qu'avec les puissances des nombres entiers. Après, on pourra interpréter ce qui a été trouvé.

Posons V = 10P et donc P = log V. Elevons V à la puissance Q et observons les mêmes règles que pour les entiers P et Q

VQ   =   [10P]Q   =   10(P.Q)

Prenons le logarithme des deux côtés

log [VQ] = Q.P = Q log V

    Le logarithme d'un nombre élevé à la Qième puissance est Q fois son logarithme. .

    Ainsi, pour un nombre donné V, les logarithmes aident à calculer VQ, même si Q n'est pas un nombre entier (comme on le verra plus loin). La tactique est de:

    ---Prendre le nombre V
    ---Trouver son logarithme P,
    ---Multiplier P par Q pour obtenir Q log V. Appelons ce nombre U.
    --Chercher le nombre dont le logarithme est U, c'est-à-dire trouver 10U . C'est la valeur de VQ .

    Mais quelle interprétation donner de l'élévation d'un nombre
    à n'importe quelle puissance réelle ?

    (1)   On peut commencer par un exemple simple. Supposons

    V.V = 10
    Donc V est la racine carrée de 10 ou √10, environ 3,16227766...
    Si n'importe quelle puissance a et b correspondent à
    (xa).(xb)   =   x(a+b)

    Alors V se comporte comme 101/2 ou 100.5 À savoir que si on multiplie par lui-même:

    (100.5).(100.5)   =   (101)   =   10.

    (2)   De même, la Qème racine de 10 --le nombre qui doit être multiplié par lui-même Q fois pour obtenir 10 -- satisferait à l'équation ci-dessus, si elle est écrite 101/Q, elle correspondrait à l'équation x(a+b), avec 101/Q multiplié par lui même Q fois. (Il n'est pas ici question de savoir comment la racine Qème est calculée: il existe des méthodes.)

    (101/Q).(101/Q).(101/Q)... (Q times)... =   (101)   =   10

    Ici aussi, c'est la même équation de base. Si 101/Q est porté à la Qème puissance, la relation déjà vue :

    (VP)Q   =   V(P.Q))

    est encore valable, et

    [101/Q]Q = 10 (Q /Q) = 101 = 1.

    Par ailleurs, si la relation générale est correcte pour les deux facteurs, on a :

    V = 101/Q         (de sorte que log V = 1/Q)

    Elevons le à la puissance P

    VP   =   [101/Q]P   =   10(P/Q)

    Cela permet de formellement déterminer la puissance (P/Q): élever d'abord V à la puissance 1/Q (c'est-à-dire prendre les Qièmes racine de V), puis élever le tout à la puissance P, en le multipliant par lui-même P fois.

        (3) Il n'y a pas de bonne façon d'élever10 à une puissance "irrationnelle," un nombre qui ne s'écrire comme une fraction P/Q. Par exemple, élever 10 à la puissance √2 ou à la puissance π . Toutefois, même si le résultat ne peut jamais être exactement exprimé par une fraction, il existe des procédés par approximation par l'intermédiaire d'une série de fractions F1, F2, F3 ... qui s'en approche de plus en plus. log π, par exemple, est proche de 1022/7 et plus encore de 10355/113, et en persévérant (ou plus classiquement avec des fractions décimales ) on arrive à un résultat aussi proche de ses souhaits.

        Généralement, les nombres N1, N2, N3 ... égaux à 10 élevé aux puissances F1, F2, F3 ...peuvent aussi beaucoup se rapprocher les uns des autres, et on devine que si le processus est poussé assez loin, le résultat peut être considéré comme 10 à une puissance irrationnelle.
    ===========================

    Dans la troisième loi de Kepler, on peut trouver un exemple d'élévation de nombres à la puissance 3/2, qui montre aussi une application graphique des logarithmes, . Examinons cette loi. Il nous est donné la liste des distances moyennes r des planètes au Soleil et les périodes T des orbites correspondantes : ces deux facteurs augmentent de pair, mais pas dans les mêmes proportions. Nous pensons que T est une puissance de r -- mais comment le vérifier, et quelle est la valeur de cette puissance ? Voici les données (voir la section sur les lois de Kepler

    Planète Période T
     (années)     		Dist. R au
      Soleil (AU)     		   T2    R3    Log T    Log R
      Mercure    0,241    0,387    0,05808    0,05796  –0,618  –0,4123
     Venus    0,616    0,723  0,37946  0,37793  –0,2104  –0,1409
     Terre      1      1      1      1      0      0
     Mars    1,88    1,524  3,5344  3,5396    0,274    0,183
     Jupiter  11,9  5,203  141,61  140,85  1,0746  0,716
     Saturne  29,5  9,539  870,25  867,98   1,47,   0,9795
     Uranus  84,0  19,191  7056  7068    1,924    1,283
     Neptune  165,0  30,071  27,225  27,192    2,217    1,476
     Pluton  248,0  39,457  61504  61429    2,394    1,596


    Bien sur, on connait la réponse : on sait que Kepler a établi que T2 est proportionnel à R3 (donc les colonnes 4 et 5 devraient être égales, sauf que les valeurs utilisées ici ne sont pas exactes). A partir de la célèbre 3ème loi de Kepler, on peut écrire :
    T = K R(3/2)
    Avec K, une constante qui dépend des unités utilisées pour T et R. Mais mettons nous à la place de Kepler --nous avons toutes les données des tableaux de gauche, donnant les valeurs de T et de R (sans tenir compte que Kepler ignorait les 3 derniers objets énumérés!) : comment trouver cette relation? Confronter T à R ne donne seulement qu'une courbe : peut-on savoir laquelle ? Les logarithmes le permettent. Supposons que cette courbe est de la forme :
    T = K RN
    En prenant les logarithmes des deux côtés (si les deux parties sont égales, leurs logarithmes sont forcément égaux)
    log T = log K + log (RN)
    ou
    log T = log K + N log R
    Traçons maintenant un système de coordonnées (x, y), et pour chaque planète plaçons log R = x et y = logT. L'équation de la droite xy est alors
    y = log K + N x
    Si notre analyse de la formule T = K RN est exacte, on obtient une droite y = b + Nx dont la pente est N; Ceci dit, posons deux points quelconques (x1, y1) et (x2 , y2), alors
    N   =   (y1 – (y2) / (x1 – (x2)
    Si l'hypothèse est fausse, la courbe ne sera pas une droite. Il est à noter que le choix des unités pour T (années, secondes ...) et R (unités astronomiques, des kilomètres, milles ...) n'a pas d'importance. Si les unités utilisées pour mesurer la période T sont modifiées, elles seront remplacées par qT, où q est une constante. Dès lors log est remplacé par (log q + logT), et donc modifie la valeur de b = log K. Dans le tableau ci-dessus, en utilisant comme unités la période de la Terre et sa distance moyenne, le point occupé par la Terre est (x,y) = (0,0); Donc b = 0, et en prendre l'origine à ce second point simplifie la pente de l'équation pour
    N = y / x
    où (x, y) est un point quelconque du graphique. Il vous est conseillé de dessiner le graphique et de vérifier par vous-même que l'exposant est bien 3 / 2.

    En savoir plus

    D'autres exposants ayant la forme de fraction régissent les lois des gaz. Vous savez sans doute que dans un gaz, la pression P d'une quantité donnée de gaz (par exemple, un gramme) est inversement proportionnelle à son volume V
    P V   =   constante
    Lorsque le gaz est comprimé à la moitié de son volume, sa pression double.

        Mais cela ne vaut que si la température reste fixe . En fait, lorsque vous pompez du gaz dans un récipient de la moitié du volume initial, non seulement cela génère une pression plus élevée, mais vous investissez de l'énergie pour surmonter la pression du gaz déjà introduit. En conséquence (et les utilisateurs de pompes à vélo le savent bien) le gaz se réchauffe, et sa pression augmente plus de deux fois. Il s'avère que, si il n'est pas possible à la chaleur de s'évacuer, une bonne approximation de la loi est
    P Vγ  =   constante
    ou γ (lettre g, grecque minuscule) vaut environ 7/5 pour l'air ou les gaz où deux mêmes molécules se combinent (azote, oxygène, hydrogène ou chlore) et environ 5/3 pour les gaz monoatomique tels que l'hélium. Ces " lois adiabatiques des gaz " sont particulièrement importantes dans les systèmes très étendus (e. g. mouvements à grande échelle de l'atmosphère), parce que lorsque le volume augmente, il y a de moins en moins de surface à travers lequel chaque unité de volume peut gagner ou perdre de la chaleur, ce qui rend l'échange de flux de chaleur vers l'extérieur ou l'intérieur moins efficace.

Auteur et Conservateur:   Dr. David P. Stern
     Mail au Dr.Stern:   stargaze("at" symbol)phy6.org .
Mise à jour 10 Novembre 2007

Traduction française : Guy Batteur ( guybatteur arobase wanadoo.fr )